Question

【题目】如图，将ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．

（1）求证：△ABF≌△ECF；

（2）若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）先由已知平行四边形ABCD得出AB∥DC，AB＝DC，∠ABF＝∠ECF，从而证得△ABF≌△ECF；

（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA＝FE＝FB＝FC，AE＝BC，得证．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AB＝DC，

∴∠ABF＝∠ECF，

∵EC＝DC，∴AB＝EC，

在△ABF和△ECF中，

∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，

∴△ABF≌△ECF（AAS）．

（2）∵AB＝EC，AB∥EC，

∴四边形ABEC是平行四边形，

∴FA＝FE，FB＝FC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC＝∠D，

又∵∠AFC＝2∠D，

∴∠AFC＝2∠ABC，

∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF，

∴∠ABC＝∠BAF，

∴FA＝FB，

∴FA＝FE＝FB＝FC，

∴AE＝BC，

∴四边形ABEC是矩形．