Question

16．如图．AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，D为半圆的中点，若⊙O的半径为4，求CD的长．

Answer 1

分析 作辅助线，构建直角三角形，利用D为半圆的中点得等腰直角三角形AOD，求出AD的长，根据等腰三角形的性质得：∠ADE=30°，所以利用30°角所对的直角边是斜边的一半求AE的长，利用勾股定理求出DE的长，证明△ACE是等腰直角三角形，求出CE的长，相加即可得CD的长．

解答 解：连接AD、OD、OC，过A作AE⊥CD于E，
∵D为半圆的中点，AB为⊙O的直径，
∴∠AOD=90°，
∵AO=OD=4，
∴AD=4$\sqrt{2}$，∠ADO=45°，
∵OC=OA，∠BAC=60°，
∴△ACO是等边三角形，
∴AC=AO=4，∠AOC=60°，
∴∠COD=60°+90°=150°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=15°，
∴∠ADC=∠ADO-∠ODC=45°-15°=30°，
在Rt△AED中，AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×$4\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
由勾股定理得：DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∵∠ACO=60°，∠OCD=15°，
∴∠ACE=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE=$\frac{AC}{\sqrt{2}}$=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴CD=CE+ED=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了圆周角定理、等腰三角形、等边三角形的性质和判定，根据等腰三角形中等边对等角和等边三角形的性质求出特殊角的度数，利用勾股定理求边的长度．