Question

4．在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），B（0，-8），连接AB．
（1）如图①，动点C在x轴负半轴上，且AH⊥BC交BC于点H、交OB于点P，求证：△AOP≌△BOC；
（2）如图②，在（1）的条件下，连接OH，求证：2∠OHP=∠AHB；
（3）如图③，E为AB的中点，动点G在y轴上，连接GE，作EF⊥GE交x轴于F，猜想GB，OB、AF三条线段之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）欲证明△AOP≌△BOC已经有一边，一角相等，只要证明∠HAC=∠OBC即可．
（2）如图②中，过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，由△COM≌△PON（AAS），推出OM=ON．因为OM⊥CB，ON⊥HA，推出HO平分∠CHA，由此即可证明．
（3）结论：BG-BO=AF．只要证明△GOE≌△FAE，推出OG=AF，推出BG-BO=GO=AF即可证明．

解答 （1）证明：如图①中，

∵AH⊥BC即∠AHC=90°，∠COB=90°
∴∠HAC+∠ACH=∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠HAC=∠OBC．
在△OAP与△OBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COB=∠POA=90°}\\{OA=OB}\\{∠OAP=∠OBC}\end{array}\right.$，
∴△OAP≌△OBC（ASA），

（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图②．

在四边形OMHN中，∠MON=360°-3×90°=90°，
∴∠COM=∠PON=90°-∠MOP．
在△COM与△PON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COM=∠PON}\\{∠OMC=∠ONP=90°}\\{OC=OP}\end{array}\right.$，
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM=ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴∠OHP=$\frac{1}{2}$∠CHA=45°，
∵∠AHB=90°，
∴2∠OHP=∠AHB．

（3）结论：BG-BO=AF．
理由如下：连接OE，如图3．

∵∠AOB=90°，OA=OB，E为AB的中点，
∴OE⊥AB，∠BOE=∠AOE=45°，OE=EA=BE，
∴∠OAD=45°，∠GOE=90°+45°=135°，
∴∠EAF=135°=∠GOE．
∵GE⊥EF即∠GEF=90°，
∴∠OEG=∠AEF，
在△GOE与△FAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OEG=∠AEF}\\{OE=AE}\\{∠GOE=∠EAF}\end{array}\right.$，
∴△GOE≌△FAE，
∴OG=AF，
∴BG-BO=GO=AF，
∴BG-BO=AF．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．