Question

1．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c过点D（-2，5），与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求此函数的解析式；
（2）若点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，是否存在以点M、N、O、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是第一象限抛物线上的点，连接OP、BP、OP与BD交于点Q，若△OBP的面积是△OBQ面积的2倍，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法直接求出抛物线解析式；
（2）先确定出OB=3，分AB为边和为对角线两种情况讨论计算，当AB为边时，有MN∥OB，MN=OB=3建立方程求解即可，当AB为对角线时，MN必过AB的中点建立方程求解即可；
（3）利用三角形的面积关系得出点Q是OP的中点，建立方程组求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点D（-2，5），与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-3）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=5}\\{a-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴此函数的解析式为y=x²-2x-3，
（2）由（1）知，函数的解析式为y=x²-2x-3，
∴B（3，0），
∴OB=3，抛物线的对称轴为x=1，
∵以点M、N、O、B为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当AB为平行四边形的边时，
∴MN∥OB，MN=OB=3，
设点N（m，m²-2m-3），
∴M（1，m²-2m-3），
∴MN=|m-1|=3，
∴m=-2或m=4，
∴N（-2，5）或（4，5），
②当AB为对角线时，MN必过OB的中点G（$\frac{3}{2}$，0），
设点N（m，m²-2m-3），M（1，n），
∴$\frac{m+1}{2}=\frac{3}{2}$，$\frac{{m}^{2}-2m-3+n}{2}=0$，
∴m=2，n=3，
∴N（2，-3），
即：满足条件的点N的坐标为（-2，5）或（4，5）或（2，-3）．
（3）∵D（-2，5），b（3，0），
∴直线BD解析式为y=-x+3，
∵△OBP的面积是△OBQ面积的2倍，
∴S_△OBQ=S_△PBQ，
∴BQ是△OBP的边OP的中线，
∴OQ=PQ，
设P（p，p²-2p-3）（p＞0），
∵O（0，0），
∴Q（$\frac{p}{2}$，$\frac{{p}^{2}-2p-3}{2}$），
∵Q点直线BD上，
∴-$\frac{p}{2}$+3=$\frac{{p}^{2}-2p-3}{2}$，
∴p=$\frac{1-\sqrt{37}}{2}$（舍）或p=$\frac{1+\sqrt{37}}{2}$，
∴P（$\frac{1+\sqrt{37}}{2}$，$\frac{11-\sqrt{37}}{2}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，三角形的中线，用分类讨论的思想是解本题的关键，用中点坐标公式是解本题的难点，是一道中等难度的中考常考题．