题目内容
【题目】已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，将△ABC绕点A逆时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°<α<90°），直线BD与CE交于点F．
（1）如图1，当α=45°时，求证：CF=EF；
（2）如图2，在旋转过程中，当α为任意锐角时，
① ∠CFB的度数是否变化？若不变，请求出它的度数；
② 结论“CF=EF”，是否仍然成立？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①不变，45°；②仍然成立，理由见解析
【解析】
（1）首先证明∠ACE=∠CDF，推出CF=DF ，再证明∠CED=∠EDF，推出CF=EF即可解决问题；
（2））①由△ABD与△ACE均为顶角为α的等腰三角形，所以∠ABD=∠ACE．由∠ABD+∠AOB+∠CAB=∠ACE+∠COF+∠CFB=180°可得∠CFB=∠CAB=45°；
②作EG∥CB交BF延长线于点G．可推出∠EDG=∠CBF．由 EG∥CB，可得∠G=∠CBF=∠EDG，可证明△FEG≌△FCB，即可的答案．
解：（1）当α=45°时，
由旋转可知：AB=AD，AC=AE,∠CAB=∠CAE=45°,∠ADE=∠ABC=90°
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=67.5°，
∴∠CDF=∠ADB=67.5°，
∵AC=AE，
∠AEC=∠ACE=67.5°．
∴∠ACE=∠CDF=67.5°，
∴CF=DF．
在Rt△CDE中，∠CED=∠EDF=90°-67.5°=22.5°，
∴EF=DF．
∴CF=EF
（2）①∠CFB的度数不变，∠CFB=45°．
∵△ABD与△ACE均为顶角为α的等腰三角形，
所以底角相等，
即∠ABD=∠ACE．
设AC与BF的交点为O，则∠AOB=∠COF．
∵∠ABD+∠AOB+∠CAB=∠ACE+∠COF+∠CFB=180°，
∴∠CFB=∠CAB=45°．
② 结论“CF=EF”，仍然成立．证明如下：
如图，作EG∥CB交BF延长线于点G．
∵∠ABD=∠ADB，
又∵∠EDG+∠ADB=∠CBF+∠ABD=90°，
∴∠EDG=∠CBF．
∵ EG∥CB，
∴∠G=∠CBF=∠EDG，
∴EG=ED．又ED=BC，
∴EG=BC．
∴△FEG≌△FCB．
∴EF=CF
