Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为半径作⊙B，交AB于点D，交AB的延长线于点E，连接CD、CE．
（1）求证：△ACD∽△AEC；
（2）当 = 时，求tanE；
（3）若AD=4，AC=4 ，求△ACE的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DE为直径，

∴∠DCE=90°，即∠2+∠DCB=90°，

∵∠ACB=90°，即∠1+∠DCB=90°，

∴∠1=∠2，

而∠CAD=∠EAC，

∴△ACD∽△AEC

（2）解：由 = ，设AC=4k，则BC=3k，

∴BD=BE=3k，

∴AB= =5k，

∴AE=AB+BE=5k+3k=8k，

在Rt△CDE中，tanE= ，

∵△ACD∽△AEC，

∴ = = = ，

∴tanE= ；

（3）解：作CH⊥AE于H，如图，

∵△ACD∽△AEC，

∴ = = ，即 = = ，解得AE=12，CE= CD，

∴DE=AE﹣AC=8，

在Rt△CDE中，∵tanE= = = ，

∴∠E=30°，

∴CD= DE=4，CE=4 ，

在Rt△CHE中，CH= CE=2 ，

∴△ACE的面积= ×12×2 =12 ．

【解析】（1）利用圆周角定理得到∠DCE=90°，而∠ACB=90°，则∠1=∠2，加上公共角，则可判断△ACD∽△AEC；（2）利用由 = 设AC=4k，BC=3k，由勾股定理计算出AB=5k，则AE=8k，再由△ACD∽△AEC，利用相似比得到 = = ，然后根据正切的定义可得tanE的值；（3）作CH⊥AE于H，如图，由△ACD∽△AEC，利用相似比得到AE=12，CE= CD，则DE=AE﹣AC=8，在Rt△CDE中利用三角函数和特殊角的三角形函数值得到∠E=30°，则可计算出CD= DE=4，CE=4 ，接着计算出CH，然后根据三角形面积公式求解．