Question

已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB．
（1）求证：△ADE∽△CDF；
（2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与ABCD的面积之比．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

试题分析：（1）根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，AD∥BC，求出∠ADE=∠CDF，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）设CF=x，FB=2x，则BC=3x，设EB=y，则AE=3y，AB=4y，根据相似得出，求出x=2y，由勾股定理得求出DF=，分别求出含参数y的⊙O面积和四边形ABCD面积，即可求出答案．
试题解析：解：（1）证明：∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD∥BC. ∴∠ADF=∠DFC=90°.
∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥DC. ∴∠EDC="90°."
∴∠ADF=∠EDC=90°.∴∠ADE=∠CDF.
∵∠A=∠C，∴△ADE∽△CDE.
（2）∵CF：FB=1：2，∴设CF=x，FB=2x，则BC=3x.
∵AE=3EB，∴设EB=y，则AE=3y，AB=4y.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=3x，AB=DC=4y.
∵△ADE∽△CDF，∴，即.
∵x、y均为正数，∴x="2y." ∴BC=6y，CF=2y.
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，
由勾股定理得：，
∴⊙O的面积为，
四边形ABCD的面积为.
∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为．