Question

如图，在△ABC中，AC=BC，AB是⊙C的切线，切点为D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF=AC．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若AC=8，求△ABF的面积．

Answer 1

(1)∠ACB=120°．
(2)24

试题分析：（1）连接DC，由AB是⊙C的切线，可知CD⊥AB，根据CD=AC，得出∠A=30°，又AC=BC，从而可求得∠ACB的度数．
（2）由（1）可得∠ACD=∠BCD=∠BCF，从而可得△ACD≌△BCF，求得∠AFB=90°，已知AC=8，根据已知求得AF=12，由于∠A=30°得出BF=AB，由勾股定理求得BF的长，从而可求得三角形的面积．
试题解析：（1）连接CD，

∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∵CF=AC，CF=CE，
∴AE=CE，
∴ED=AC=EC，
∴ED=EC=CD，
∴∠ECD=60°，
∴∠A=30°，
∵AC=BC，
∴∠ACB=120°．
（2）∵∠A=30°，AC=BC，
∴∠ABC=30°，
∴∠BCE=60°，
在△ACD与△BCF中

∴△ACD≌△BCF（SAS）
∴∠ADC=∠BFC，
∵CD⊥AB，
∴CF⊥BF，
∵AC=8，CF=AC．
∴CF=4，
∴AF=12，
∵∠AFB=90°，∠A=30°，
∴BF=AB，
设BF=x，则AB=2x，
∵AF²+BF²=AB²，
∴（2x）²﹣x²=122
解得：x=4
即BF=4
∴S_△ABF=