Question

如图，在Rt中，，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E．
（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）求证：；
（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．

Answer 1

．（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）证明见解析

试题分析：（1）由AC是直径，可得∠ADC=90°，从而可得∠BDC=90°，若要证明点E是BC边的中点，只需证明DE=CE=BE即可，由已知、切线的性质以及圆的性质就可以得到了；
由∠BDC=∠ACB，∠B=∠B可得△ABC∽△CDB，利用对应边成比例就可得到
当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，可知∠OCD=45°，由AC是直径可得∠ADC=90°，从而得出∠A=45°继而得出△ABC是等腰直角三角形．

试题解析：（1）如图，连接OD．∵DE为切线，∴∠EDC+∠ODC=90°；
∵∠ACB=90°，∴∠ECD+∠OCD=90°．又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，
∴∠EDC=∠ECD，∴ED=EC；∵AC为直径，∴∠ADC=90°，
∴∠BDE+∠EDC=90°，∠B+∠ECD=90°，∴∠B=∠BDE，∴ED=DB．
∴EB=EC，即点E为边BC的中点；
（2）∵AC为直径，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠B=∠B
∴△ABC∽△CDB，∴，∴BC2=BD•BA；
（3）当四边形ODEC为正方形时，∠OCD=45°；∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，∴∠CAD=∠ADC﹣∠OCD=90°﹣45°=45°
∴Rt△ABC为等腰直角三角形．