题目内容
【题目】如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，
）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，
）三点在抛物线上，
∴
，解得
。
∴抛物线的解析式为：
。
（2）∵
，∴其对称轴为直线x=2。
连接BC，如图1所示，
∵B（5，0），C（0，），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
，解得：
。
∴直线BC的解析式为
。
当x=2时，
，
∴P（2，）。
（3）存在。
如图2所示，
①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，），
∴N1（4，）。
②当点N在x轴上方时，
如图2，过点N作ND⊥x轴于点D，
在△AND与△MCO中，
，
∴△AND≌△MCO（ASA）。
∴ND=OC=
，即N点的纵坐标为。
∴
，解得
或
。
∴N2（
，），N3（
，）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，），（，）或（，）
【解析】
试题本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，
）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴
，解得
．∴抛物线的解析式为：y=
x2﹣2x﹣
；
（2）∵抛物线的解析式为：y=
x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣
=﹣
=2，连接BC，如图1所示，
∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴
，解得
，∴直线BC的解析式为y=
x﹣
，当x=2时，y=1﹣=﹣
，∴P（2，﹣）；
（3）存在．如图2所示，
①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣
），∴N1（4，﹣）；
②当点N在x轴上方时，如图2，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，
∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为
．∴
x2﹣2x﹣=，
解得x=2+
或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为N1（4，﹣
），N2（2+，）或N3（2﹣，）．
