题目内容
【题目】如图，二次函数
的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点．
（1）求m的值及C点坐标；
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由；
（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q．
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．
【答案】（1）m=4，C（0，4）；（2）存在，M（2，6）；（3）①P（
，）或P（
，）；②当t=2时，S四边形PBQC最大=16．
【解析】
试题分析：（1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先判断出面积最大时，平移直线BC的直线和抛物线只有一个交点，从而求出点M坐标；
（3）①先判断出四边形PBQC时菱形时，点P是线段BC的垂直平分线，利用该特殊性建立方程求解；
②先求出四边形PBCQ的面积与t的函数关系式，从而确定出它的最大值．
试题解析：（1）将B（4，0）代入
，解得，m=4，∴二次函数解析式为
，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；
（2）存在，理由：∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为y=﹣x+4，当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC面积最大，∴
，∴
，∴△=16﹣4b=0，∴b=4，∴
，∴M（2，6）；
（3）①如图，∵点P在抛物线上，∴设P（m，
），当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，∵B（4，0），C（0，4），∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，∴m=，∴m=
，∴P（，）或P（，）；
②如图，设点P（t，
），过点P作y轴的平行线l，过点C作l的垂线，∵点D在直线BC上，∴D（t，﹣t+4），∵PD=﹣（﹣t+4）=
，BE+CF=4，∴S四边形PBQC=2S△PDC=2（S△PCD+S△BD）=2（
PD×CF+PD×BE）=4PD=
=
，∵0＜t＜4，∴当t=2时，S四边形PBQC最大=16．
