Question

如图，△ABC是⊙O内接正三角形，将△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，DE分别交AB，AC于点M，N，DF交AC于点Q，则有以下结论：①∠DQN=30°；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ的周长等于AC的长；④NQ=QC．其中正确的结论是　   　．（把所有正确的结论的序号都填上）

Answer 1

①②③

连结OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，根据旋转的性质得∠AOD=∠COF=30°，再根据圆周角定理得∠ACD=∠FDC=15°，然后根据三角形外角性质得∠DQN=∠QCD+∠QDC=30°；同理可得∠AMN=30°，由△DEF为等边三角形得DE=DF，则弧DE=弧DF，得到弧AE=弧DC，所以∠ADE=∠DAC，根据等腰三角形的性质有ND=NA，于是可根据“AAS”判断△DNQ≌△ANM；利用QD=QC，ND=NA可判断△DNQ的周长等于AC的长；由于∠NDQ=60°，∠DQN=30°，则∠DNQ=90°，所以QD＞NQ，而QD=QC，所以QC＞NQ．
解：连结OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，如图，

∵△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，
∴∠AOD=∠COF=30°，
∴∠ACD=∠AOD=15°，∠FDC=∠COF=15°，
∴∠DQN=∠QCD+∠QDC=15°+15°=30°，所以①正确；
同理可得∠AMN=30°，
∵△DEF为等边三角形，
∴DE=DF，
∴，
∴++，
而，
∴，
∴∠ADE=∠DAC，
∴ND=NA，
在△DNQ和△ANM中

∴△DNQ≌△ANM（AAS），所以②正确；
∵∠ACD=15°，∠FDC=15°，
∴QD=QC，
而ND=NA，
∴ND+QD+NQ=NA+QC+NQ=AC，
即△DNQ的周长等于AC的长，所以③正确；
∵△DEF为等边三角形，
∴∠NDQ=60°，
而∠DQN=30°，
∴∠DNQ=90°，
∴QD＞NQ，
∵QD=QC，
∴QC＞NQ，所以④错误．
故答案为①②③．