Question

如图，在中，AB=AC，以AB为直径的交BC于点M，于点N.

(1)求证：MN是⊙O的切线；
(2)若，AB=2，求图中阴影部分的面积.

Answer 1

(1)证明见解析；（2）．

试题分析：（1）有切点，需连半径，证明垂直，即可；
（2）求阴影部分的面积要把它转化成S_梯形ANMO-S_扇形OAM，再分别求的这两部分的面积求解．
试题解析：（1）证明：连接OM．

∵OM=OB，
∴∠B=∠OMB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴∠OMB=∠C．
∴OM∥AC．
∵MN⊥AC，
∴OM⊥MN．
∵点M在⊙O上，
∴MN是⊙O的切线．
（2）解：连接AM．

∵AB为直径，点M在⊙O上，
∴∠AMB=90°．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∴∠AOM=60°．
又∵在Rt△AMC中，MN⊥AC于点N，
∴∠AMN=30°．
∴AN=AM•sin∠AMN=AC•sin30°•sin30°=．
∴MN=AM•cos∠AMN=AC•sin30°•cos30°=
∴S_梯形ANMO=，S_扇形OAM=，
∴S_阴影=．   
考点: 切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形．