题目内容

【题目】1)如图1,在△ABC中,ABAC,∠BAC45°.△ABC的高ADBE相交于点M.求证:AM2CD

2)如图2,在RtABC中,∠C90°,ACBCAD是∠CAB的平分线,过点BBEAD,交AD的延长线于点 E.若AD3,则BE   

【答案】1)详见解析;(21.5

【解析】

1)根据全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质定理,即可得到结论;

2)延长BEAC交于F点,首先利用三角形内角和定理计算出∠F=∠ABF,进而得到AFAB,再根据等腰三角形的性质可得BEBF,然后证明△ADC≌△BFC,可得BFAD,进而得到BEAD,即可求解.

1)在△ABC中,

∵∠BAC45°,BEAC

AEBE

ADBC,

∴∠EAM90°-∠C=∠EBC

在△AEM和△BEC中,

∴△AEM≌△BECASA),

AMBC

ABACADBC,

BDCD

BC2CD

AM2CD

2)延长BEAC交于F点,

BEEA

∴∠AEF=∠AEB90°.

AD平分∠BAC

∴∠FAE=∠BAE

∴∠F=∠ABE

AFAB

BEEA

BEEFBF

∵△ABC中,ACBC,∠C90°,

∴∠CAB45°,

∴∠AFE=(180°﹣45°)÷267.5°,∠FAE45°÷2=22.5°,

∴∠CDA67.5°,

∵在△ADC和△BFC中,

∴△ADC≌△BFCAAS),

BFAD

BEAD1.5

故答案为:1.5

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