Question

如图，在平面直角坐标系中，点C（-3,0），点A、B分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足.
小题1:求点A、B坐标
小题2:若点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AP。设△ABP面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围
小题3:在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A、B、P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。（本题满分8分）

Answer 1

小题1:A(1,0)  B(0,) -----------2分
小题2:=2-t  (0≤t≤) -----------4分
=t-  (t＞) -----------6分
小题3:P(-3,0), (-1,), (1,), (3, ) -----------8分
(答对1个得0.5分)

解：
（1）∵
∴OB²-3=0，OA-1=0．
∴OB= ，OA=1．
点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上，
∴A（1，0），B（0， ）．
（2）由（1），得AC=4，=1²+()²=2，=()²+(3)²=2，
∴AB²+BC²=2²+（2 ）²=16=AC²．
∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°．设CP=t，过P作PQ⊥CA于Q，由△CPQ∽△CBO，易得PQ= ，
∴S=S△ABC-S△APC= ×4×-×4×= 2-t（0≤t＜ 23）．
（3）P(-3,0), (-1,), (1,), (3, )