题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y= x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A,B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A,B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB与点C,作PD⊥AB于点D
(1)①求抛物线的解析式;②求sin∠ACP的值
(2)设点P的横坐标为m
①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;
②连接PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,求出当这两个三角形面积之比为9:10时的m值;
③是否存在适合的m值,使△PCD与△PBD相似?若存在,直接写出m值;若不存在,说明理由.
【答案】
(1)
解:①当y=0时, x+1=0,解得x=﹣2,则A(﹣2,0),
当y=3时, x+1=3,解得x=4,则B(4,3),
把A(﹣2,0),B(4,3)代入y=ax2+bx﹣3得 ,解得 ,
∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x﹣3;
②过B作BE⊥x轴于点E,如图1,
AE=4﹣(﹣2)=6,AB= =3 ,
在Rt△ABE中,sin∠ABE= = = ,
∵PC∥BE,
∴sin∠ACP=sin∠ABE= ;
(2)
解:设P(m, m2﹣ m﹣3),则C(m, m+1),BM=4﹣m,
∴PC= m+1﹣( m2﹣ m﹣3)=﹣ m2+m+4,
∵sin∠ACP= = ,
∴PD=﹣ m2+ m+ =﹣ (m﹣1)2+ ,
当m=1时,线段PD长的最大值为 ;
②作BM⊥PC,交PC的延长线于点M,作DN⊥PC于点N,如图,
∵sinP=sin∠BAE= = ,
∴ = ,
∴DN= ( m2+ m+ )=﹣ m2+ m+ ,
∵DN∥BM,
∴ = ,
∵线段PC把△PDB分成两个三角形的面积之比为9:10,
∴当 = = ,即 = ,
整理得2m2﹣13m+20=0,解得m1= ,m2=4(舍去);
当 = = ,即 = ,
整理得9m2﹣68m+128=0,解得m1= ,m2=4(舍去);
综上所述,m的值为 或 ;
③存在.
如图2,连接PB交x轴于Q,
∵∠PDC=∠BDP,
∴当DPC=∠DBP时,△DPC∽△DBP,
而∠DPC=∠BAE,
∴∠BAE=∠ABP,
∴QA=QB,
设Q(t,0),则QA=QB=t+2,EQ=4﹣t,
在Rt△BQE中,(4﹣t)2+32=t2,解得t= ,则Q( ,0),
设直线BQ的解析式为y=px+q,
把B(4,3),Q( ,0)代入得 ,解得 ,
∴直线BQ的解析式为y= x﹣ ,
解方程组 得 或 ,
∴P(﹣ ,﹣ ),
∴m=﹣ .
【解析】(1)①由直线解析式可求得A、B两点的坐标,代入抛物线解析式可求得a、b的值,则可求得抛物线解析式;②过B作BE⊥x轴于点E,在Rt△ABE中可求得sin∠ABE,则可求得sin∠ACP;(2)①用m可表示出C点坐标,则可表示出PC的长,利用其正弦值可表示出PD的长,利用二次函数的性质可求得其最大值;②作BM⊥PC,交PC的延长线于点M,作DN⊥PC于点N,则可用m表示DN和BM,由面积的比得到DC与BC的比,然后利用相似比可得到m的方程,可求得m的值;③如图2,连接PB交x轴于Q,只有当DPC=∠DBP时,△DPC∽△DBP,于是可证明QA=QB,设Q(t,0),则QA=QB=t+2,EQ=4﹣t,利用勾股定理得到(4﹣t)2+32=t2 , 解得t= ,则Q( ,0),再利用待定系数法求出直线BQ的解析式为y= x﹣ ,然后解方程组 得P点坐标,从而得到m的值.
【题目】某乡镇企业生产部有技术工人15人,生产部为了合理制定产品的每月生产定额,统计了这15人某月的加工零件个数:
每人加工零件个数 | 540 | 450 | 300 | 240 | 210 | 120 |
人数 | 1 | 1 | 2 | 6 | 3 | 2 |
(1)写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数.
(2)假如生产部负责人把每位工人的月加工零件个数定为260,你认为这个定额是否合理?为什么?