题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y= x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A,B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A,B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB与点C,作PD⊥AB于点D

(1)①求抛物线的解析式;②求sin∠ACP的值
(2)设点P的横坐标为m
①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;
②连接PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,求出当这两个三角形面积之比为9:10时的m值;
③是否存在适合的m值,使△PCD与△PBD相似?若存在,直接写出m值;若不存在,说明理由.

【答案】
(1)

解:①当y=0时, x+1=0,解得x=﹣2,则A(﹣2,0),

当y=3时, x+1=3,解得x=4,则B(4,3),

把A(﹣2,0),B(4,3)代入y=ax2+bx﹣3得 ,解得

∴抛物线的解析式为y= x2 x﹣3;

②过B作BE⊥x轴于点E,如图1,

AE=4﹣(﹣2)=6,AB= =3

在Rt△ABE中,sin∠ABE= = =

∵PC∥BE,

∴sin∠ACP=sin∠ABE=


(2)

解:设P(m, m2 m﹣3),则C(m, m+1),BM=4﹣m,

∴PC= m+1﹣( m2 m﹣3)=﹣ m2+m+4,

∵sin∠ACP= =

∴PD=﹣ m2+ m+ =﹣ (m﹣1)2+

当m=1时,线段PD长的最大值为

②作BM⊥PC,交PC的延长线于点M,作DN⊥PC于点N,如图,

∵sinP=sin∠BAE= =

=

∴DN= m2+ m+ )=﹣ m2+ m+

∵DN∥BM,

=

∵线段PC把△PDB分成两个三角形的面积之比为9:10,

∴当 = = ,即 =

整理得2m2﹣13m+20=0,解得m1= ,m2=4(舍去);

= = ,即 =

整理得9m2﹣68m+128=0,解得m1= ,m2=4(舍去);

综上所述,m的值为

③存在.

如图2,连接PB交x轴于Q,

∵∠PDC=∠BDP,

∴当DPC=∠DBP时,△DPC∽△DBP,

而∠DPC=∠BAE,

∴∠BAE=∠ABP,

∴QA=QB,

设Q(t,0),则QA=QB=t+2,EQ=4﹣t,

在Rt△BQE中,(4﹣t)2+32=t2,解得t= ,则Q( ,0),

设直线BQ的解析式为y=px+q,

把B(4,3),Q( ,0)代入得 ,解得

∴直线BQ的解析式为y= x﹣

解方程组

∴P(﹣ ,﹣ ),

∴m=﹣


【解析】(1)①由直线解析式可求得A、B两点的坐标,代入抛物线解析式可求得a、b的值,则可求得抛物线解析式;②过B作BE⊥x轴于点E,在Rt△ABE中可求得sin∠ABE,则可求得sin∠ACP;(2)①用m可表示出C点坐标,则可表示出PC的长,利用其正弦值可表示出PD的长,利用二次函数的性质可求得其最大值;②作BM⊥PC,交PC的延长线于点M,作DN⊥PC于点N,则可用m表示DN和BM,由面积的比得到DC与BC的比,然后利用相似比可得到m的方程,可求得m的值;③如图2,连接PB交x轴于Q,只有当DPC=∠DBP时,△DPC∽△DBP,于是可证明QA=QB,设Q(t,0),则QA=QB=t+2,EQ=4﹣t,利用勾股定理得到(4﹣t)2+32=t2 , 解得t= ,则Q( ,0),再利用待定系数法求出直线BQ的解析式为y= x﹣ ,然后解方程组 得P点坐标,从而得到m的值.

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