题目内容
【题目】已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.
（1）试判断△ABC的形状.
（2）求AB边上的高。
【答案】（1）直角三角形；（2）
.
【解析】
把a2+b2-c2+338=10a+24b+26c化为（a-5）2+（b-12）2-（c-13）2=0，根据非负数的性质求得a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形即可；（2）利用直角三角形面积的两种表示法求得AB边上的高即可.
（1）∵a2+b2-c2+338=10a+24b+26c，
∴a2-10a+25+b2-24b+144-c2-26c+169=0，
∴（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，
即a=5，b=12，c=13（a，b，c都是正的），
∵52+122=132，
∴该三角形是直角三角形，且∠ACB=90°．
（2）设AB边上的高为h，
根据直角三角形面积的两种表示法可得，
，
即
，
解得h=.
∴AB边上的高为.
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