题目内容
【题目】如图，直线
与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线
经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是抛物线上的一动点（不与B，C两点重合），△BEC面积记为S，S取何值时，对应的点E有且只有两个？
（3）直线x=2交直线BC于点M，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣
x2+
x+3；（2）当S>3时对应的E点有且只有2个.（3）存在，点P的坐标是（﹣3，﹣
），（5，﹣），（﹣1，
）．
【解析】
（1）先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法，即可求出二次函数的解析式；
（2）过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，当点E在BC上方运动时，求出△BEC的面积的最大值，此时存在3个点；当面积大于3时，点E只能在BC的下方运动，对应的点E有且只有两个，即可解答；
（3）根据题意，先求出点A和点M的坐标，以及点Q的横坐标，然后根据平行四边形的判定和性质进行解答；可分为三种情况进行讨论：①当AM为对角线时；②当AQ是对角线时；③当MQ是对角线时；即可解决问题.
解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），
∵抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点，
∴
，
解得：
，
∴
；
（2）如图1，当点E在直线BC上方抛物线上的一动点时，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F.
当点E在直线BC上方抛物线上的一动点时，
设点E的坐标是（x，
），
则点M的坐标是（x，
），
∴EM＝﹣（）＝
，
∴S△BEC＝S△BEM+S△MEC
＝
＝
＝
＝
；
∵
，
∴当x＝2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．
∴当S>3时对应的E点有且只有2个；
（3）根据题意，抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为：
，
∴点Q的横坐标为1；
当
时，代入直线方程，得：
，
∴点M坐标为：（
，
），
令
，解得：
或
，
∴点A为
，点C为（4，0）；
∵由以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，有以下情况：
①当AM为对角线时，如图：
此时AM中点的横坐标为：（
，），
∵点Q的横坐标为1，则点P的横坐标为
，
把
代入抛物线得：
，
∴点P坐标为：（，）；
②当AQ是对角线时，如图：
此时AQ中点的横坐标为：
，
∵点M的横坐标为2，则点P的横坐标为
；
把
代入抛物线得：
，
∴点P为：（，
）；
③当MQ是对角线时，如图：
此时MQ中点的横坐标为：
，
∵点A的横坐标为
，则点P的横坐标为5；
把
代入抛物线解析式得：，
∴点P为：（
，）；
综合上述，点P的坐标是：（﹣1，）或（﹣3，）或（5，）．
