题目内容
【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点E、F分别在AC，AB上，连接EF.
（1）将△ABC沿EF折叠，使点A落在AB边上的点D处，如图1，若S四边形ECBD=2S△EDF，求AE的长；
（2）将△ABC沿EF折叠，使点A落在BC边上的点M处，如图2，若MF⊥CB.
①求AE的长；②求四边形AEMF的面积；
（3）若点E在射线AC上，点F在边AB上，点A关于EF所在直线的对称点为点P，问：是否存在以PF、CB为对边的平行四边形，若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）①
，②
；（3）
或6.理由见解析.
【解析】
（1）先判断出S△ABC=4S△AEF，再求出AB，判断出Rt△AEF∽Rt△ABC，得出
，代值即可得出结论；
（2）先判断出四边形AEMF是菱形，再判断出△CME∽△CBA得出比例式，代值即可得出结论；
（3）分两种情况，利用平行四边形的性质，对边平行且相等，最后用勾股定理即可得出结论.
（1）∵△ABC沿EF折叠，折叠后点A落在AB上的点D处，
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S△AEF=S△DEF，
∵S四边形ECBD=2S△EDF，
∴S△ABC=4S△AEF，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=∠ACB，
∴Rt△AEF∽△Rt△ABC，
∴
，
即：
，
∴；
（2）①∵△ABC沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点M处，
∴AE=ME，AF=MF，∠AFE=∠MFE，
∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，
∴AE=EM=MF=AF，
∴四边形AEMF是菱形，
设AE=x，则EM=x，CE=4－x，
∵四边形AEMF是菱形，
∴EM∥AB，
∴△CME∽△CBA，
∴
，
∴
，
∴
，
，
即：，
②由①知，，，
∴
；
（3）①如图3，当点E在线段AC上时，∵PF与CB是平行四边形的对边，
∴PF//CB，PF=CB，由对称性知，PF=AF，AE=PE，
∴PF=AF=BC=3，
设AE=PE=a，
∵PF∥CB，
∴△AOF∽△ACB，∠AOF=∠ACB=90°，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
在Rt△OPE中，
，
∴
，
∴
，
即：；
②如图4，当点E在线段AC的延长线上时，延长PF交AC于O，
同理：
，
，
在Rt△OPE中，，
∴
，
∴
，
∴
，
即：或6.
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