Question

【题目】已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，点B，与y轴负半轴交于点C，且OC＝OB，其中B点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上方有一点P（m，n），连接PA后满足∠PAB＝∠CAB，记△PBC面积为S，求S与m的函数关系；

（3）在（2）的条件下，当点P恰好落在抛物上时，将直线BC上下平移，平移后的直线y＝x+t与抛物线交于C'，B'两点（C'在B'的左侧），若以点C'、B'、P为顶点三角形是直角三角形，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S＝m+9（m＞﹣2）；（3）t的值为19或32．

【解析】

(1)先确定出点A坐标，再用待定系数法即可得出结论；
(2)先确定出直线AP的解析式，进而用m表示点P的坐标，即可得出结论；
(3)先确定出点P的坐标，当∠B'PC'=90°时，利用根与系数的关系确定出B'C'的中点E的坐标，利用B'C'=2PE建立方程求解，当∠PC'B'=90°时，先确定出点G的坐标，进而求出直线C'G的解析式，进而得出点C'的坐标，即可得出结论．

(1)∵B(3，0)，对称轴为直线x=，

∴A(﹣2，0)，

∴设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x﹣3)=ax2﹣ax﹣6a，

∵B(3，0)，

∴OB=3，

∵OC=OB，

∴OC=3，

∴C(0，﹣3)，

把C(0，﹣3)代入y=a(x+2)(x﹣3)，

∴﹣6a=﹣3，

∴a=，

∴抛物线的解析式为；

(2)如图1，射线AP与y轴的交点记作点C'，

∵∠BAC=∠BAC'，OA=OA，∠AOC=∠AOC'=90°，

∴△AOC≌△AOC'(ASA)，

∴OC'=OC=3，

∴C'(0，3)，

∵A(﹣2，0)，

设直线AP的解析式为，

∵，

解得：，

∴直线AP的解析式为y=x+3，

∵点P(m，n)在直线AP上，

∴n=m+3，

∵B(3，0)，C(0，﹣3)，

直线BC的解析式为，

∴，

解得：，

∴直线BC的解析式为y=x﹣3，

过点P作y轴的平行线交BC于F，

∴F(m，m﹣3)，

∴PF=m+3﹣(m﹣3)=m+6，

∴S=S△PBC=OBPF=×3(m+6)=m+9(m＞﹣2)；

(3)由(1)知，抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣3①

由(2)知，直线AP的解析式为y=x+3②，

联立①②解得，或，

∴P(6，12)，

如图2，

当∠C'PB'=90°时，取B'C'的中点E，连接PE，

则B'C'=2PE，即：B'C'2=4PE2，

设B'(x1，y1)，C'(x2，y2)，

∵直线B'C'的解析式为y=x+t③，

联立①③化简得，x2﹣3x﹣(2t+6)=0，

∴x1+x2=3，x1x2=﹣(2t+6)，

∴点E(，+t)，

B'C'2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2=2(x1﹣x2)2=2[(x1+x2)2﹣4x1x2]

=2[9+4(2t+6)]=16t+66，

而PE2=(6﹣)2+(12﹣﹣t)2=t2﹣21t+，

∴16t+66=4(t2﹣21t+)，

∴t=6(此时，恰好过点P，舍去)或t=19，

当∠P=90°时，延长P交BC于H，交x轴于G，

则∠BHG=90°，

∵OB=CO，∠BOC=90°，

∴∠OBC=45°，

∴∠PGO=45°，

过点P作PQ⊥x轴于Q，则GQ=PQ=12，

∴OG=OQ+GQ=18，

∴点G(18，0)，

∴直线C'G的解析式为y=﹣x+18④，

联立①④解得或

∴C'的坐标为(﹣7，25)，

将点C'坐标代入y=x+t中，得25=﹣7+t，

∴t=32，

即：满足条件的t的值为19或32．