题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=12,点F是AB的中点,过点F作FD⊥AB交AC于点D.
(1)若△AFD以每秒2个单位长度的速度沿射线FB向右移动,得到△A1F1D1,当F1与点B重合时停止移动.设移动时间为t秒,△A1F1D1与△CBF重叠部分的面积记为S.直接写出S与t的函数关系式.
(2)在(1)的基础上,如果D1,B,F构成的△D1BF为等腰三角形,求出t值.
【答案】(1)(1)当0<t≤1时, S=2t2;当1<t≤2时, S=﹣t2+6t﹣3;当2<t≤3时,﹣t2+12t﹣9;(2)t的值为3﹣或或.
【解析】
(1)分三种情形:①如图1中,当0<t≤2时,重叠部分是△PFF1.②如图2中,当2<t≤4时,重叠部分是四边形FPD1F1.③如图3中,当4<t≤6时,重叠部分是五边形FQRPF1.分别求解即可解决问题.
(2)分三种情形:BD=D1F,BD=BD1,D1F=D1B分别求解即可.
解:(1)①如图1中,当0<t≤1时,重叠部分是△PFF1,
∵∠ACB=90°,∠A=30°,点F是AB的中点,FD⊥AB
∴∠B=60°,CF=BF
∴△FBC为等边三角形
∴∠P FF1=60°
∴∠FPF1=30°
由题意可得FF1=2t
∴PF=2 FF1=4t,根据勾股定理可得PF1=2t
S=FF1PF1=×2t2t=2t2.
②如图2中,当1<t≤2时,重叠部分是四边形FPD1F1,过点P作PH⊥AB于
∵AF=AB=6
在△AFD中,设DF==x,则AD=2x
根据勾股定理可得x2+62=(2x)2
解得:x=2
由题意可得FF1=2t
∴FA1=6-2t ,
∵∠FPA1=∠CFH-∠PA1F=30°
∴PF= FA1=6-2t ,
∴PH=PF=(3﹣t)
S=﹣=AF·DF﹣A1F·PH=﹣t2+6t﹣3.
③如图3中,当2<t≤3时,重叠部分是五边形FQRPF1,过点Q作QH⊥AB
由②同理FA1=6-2t ,QH=(3﹣t)
∴BF1=BF-FF1=6-2t,PF1= BF1=(6-2t)
∴D1P=DF-PF1=2t-4,
∴D1R= D1P=t-2,PR= D1P=3t-6
由平移可知∠BRQ=∠BCA=90°
∴∠D1RP=90°
S=﹣﹣=AF·DF﹣A1F·PH﹣D1R·PR=﹣t2+12t﹣9.
综上所述:当0<t≤1时, S=2t2;当1<t≤2时, S=﹣t2+6t﹣3;当2<t≤3时,﹣t2+12t﹣9;
(2)①如图4中,当BF=BD1=6时,
在Rt△BF1D1中,BF1===2,
∴AA1=FF1=6﹣2,
∴t=AA1÷2=3﹣.
②如图5中,当D1F=D1B时,
∵D1F1⊥FB
∴AA1=FF1=F1B=3,
∴t=AA1÷2=.
③如图6中,当FD1=FB=6时,
根据勾股定理可得FF1=
∴AA1=FF1=2,
∴t=AA1÷2=,
综上所述,满足条件的t的值为3﹣或或.