题目内容

【题目】如图,△ABC是等边三角形,AC上有一点D,分别以BD为边作等边△BDE和等腰△BDF,边BCDE交于点H,点FBA延长线上且DBDF,连接CE

1)若AB8AD4,求△BDF的面积;

2)求证:BCAF+CE

【答案】112;(2)详见解析.

【解析】

1)作DHABH,如图1,利用等边三角形的性质得点DAC的中点,则BDAD,利用含30度的直角三角形三边的关系计算出DHBF,从而得到△BDF的面积;

2)如图2,先证明△BAD≌△BCE得到ADCE,∠4=∠360°,再证明∠ADF=∠HBD=∠5,则可判断△ADF≌△CED,从而得到AFCD,所以ACAD+CDCE+AFBC

1)解:作DHABH,如图1

∵△ABC是等边三角形,AB8AD4

∴点DAC的中点,∠CAB=60°

BDAD

∴∠ADB90°,

DHAB

FHBH,∠ADH=30°

RtADH中,AHAD2

BH6DH=2

BHHF6

∴△BDF的面积=×(6+6)×212

2)证明:如图2

∵△ABC、△DEB都为等边三角形,

∴∠4=∠ABC=∠DBE=∠660°,BABCBDBE

∴∠1=∠2

在△BAD和△BCE

∴△BAD≌△BCESAS),

ADCE,∠4=∠360°,

而∠CHE=∠DHB

∴∠5=∠HBD

∵∠4=∠F+ADF60°,∠HBD+160°,

而∠1=∠F

∴∠ADF=∠HBD=∠5

在△ADF和△CED

∴△ADF≌△CEDSAS),

AFCD

ACAD+CDCE+AF

BCAF+CE

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