题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三点,点P是直线BC下方抛物线上一动点.

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)动点P运动到什么位置时,PBC面积最大,求出此时P点坐标和PBC的最大面积.

【答案】(1)y=x2-3x-4;(2)P点坐标(2,-6)时, PBC的最大面积为8.

【解析】

解析

(1)A,B,C三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;

(2)PPEx,x轴于点E,交直线BC于点F,P点坐标可表示出PF的长,则可表示出△PBC的面积,利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标.

解:(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,A,B,C三点坐标代入可得

,计算得出

抛物线解析株式为y= x2-3x-4;

(2)P在抛物线上可设P(t,t2-3t-4),

P PEx轴于点E,交直线BC于点F,如图

B(4,0),C(0,-4),直线BC解析式为y=x-4,

F(t,t-4),

PF=(t-4)-(t2-3t-4)=-t2+4t,

=+=PFOD+PFBE=PF(OE+BE)=

(-t2+4t)4=-2(t-2) 2+8,

t=2, 最大值为8,此时t2-3t-4=-6,

P点坐标为(2,-6),PBC的最大面积为8.

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