题目内容
【题目】在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），点P为直线BC上一动点（不与点B，C重合），连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转α度得到线段PQ，连接CQ．
（1）当α＝90°，且点P在线段BC上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图1，图中与△APF全等的是哪个三角形，∠ACQ的度数．
（2）当点P在BC延长线上，AB：AC＝m：n时，如图2，试求线段BP与CQ的比值；
（3）当点P在直线BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4时，请直接写出线段CQ的长．
【答案】（1）△PQC，90；（2）
；（3）线段CQ的长为2或8．
【解析】
（1）依据条件判定△APF≌△PQC，可得∠PCQ＝∠AFP＝135°，依据∠ACB＝45°，可得∠ACQ＝90°；
（2）过P作PF∥AC，交BA的延长线于F，判定△AFP≌△PCQ，可得FP＝CQ，再根据△ABC∽△FBP，可得
，进而得出
；
（3）分两种情况进行讨论：点P在CB的延长线上，点P在BC的延长线上，分别依据全等三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，即可得到线段CQ的长．
（1）如图①，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵PF∥AC，
∴∠BPF＝∠BFP＝45°，
∴△BPF是等腰直角三角形，
∴BF＝BP，
∴AF＝CP，
由旋转可得，AP＝PQ，∠APQ＝90°，而∠BPF＝45°，
∴∠QPC＝45°﹣∠APF，
又∵∠PAF＝∠PFB﹣∠APF＝45°﹣∠APF，
∴∠PAF＝∠QPC，
∴△APF≌△PQC（SAS）
∴∠PCQ＝∠AFP＝135°，
又∵∠ACB＝45°，
∴∠ACQ＝90°，
故答案为：△PQC，90；
（2）如图②，过P作PF∥AC，交BA的延长线于F，则
，
又∵AB＝BC，
∴AF＝CP，
又∵∠FAP＝∠ABC+∠APB＝α+∠APB，∠CPQ＝∠APQ+∠APB＝α+∠APB，
∴∠FAP＝∠CPQ，
由旋转可得，PA＝PQ，
∴△AFP≌△PCQ（SAS），
∴FP＝CQ，
∵PF∥AC，
∴△ABC∽△FBP，
∴
∴
；
（3）如图，当P在CB的延长线上时，
∵∠CPQ＝∠APQ﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，
∴∠APC＝∠QPC，
又∵AP＝QP，PC＝PC，
∴△APC≌△QPC（SAS），
∴CQ＝AC，
又∵BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，∠BAP＝∠ABC﹣∠APB＝30°，
∴BP＝AB＝BC＝
PC＝2，
∴QC＝AC＝BC＝2；
如图，当P在BC的延长线上时，连接AQ，
由旋转可得，AP＝QP，∠APQ＝∠ABC＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴AQ＝PQ，∠APQ＝60°＝∠AQP，
又∵∠APB＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠CAP＝30°，∠CPQ＝90°，
∴∠CAP＝∠APA，
∴AC＝PC，且AQ＝PQ，CQ＝CQ
∴△ACQ≌△PCQ（SSS）
∴∠AQC＝∠PQC＝
∠AQP＝30°，
∴Rt△PCQ中，CQ＝2CP＝8．
综上所述，线段CQ的长为2或8．
