Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：点D是BC的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）如果⊙O的直径为9，cosB＝，求DE的长．

Answer 1

（1）证明略
（2）相切
（3）1

（1）证明：连接AD
∵AB为半圆O的直径,
∴AD⊥BC
∵AB=AC
∴点D是BC的中点
(2)解：相切
连接OD
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DE⊥OD
∴DE与⊙O相切
（3） ∵AB为半圆O的直径
∴∠ADB=900
在Rt△ADB中
∵cosB=
∴BD=3
∵CD=3
在Rt△ADB中
∴cosC=
∴CE=1