Question

如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以 OA长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F,且∠ACB=∠DCE．

（1）求证：CE是⊙O的切线；   
（2）若tan∠ACB=，AE=7，求⊙O的直径．

Answer 1

（1）证明略
（2）

（1）证明：连接OE，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°．
∴∠3=∠1，∠2+∠5=90°． …………………………… 1分
又 OA=OE， ∴∠3=∠4．
∵∠1=∠2，
∴∠4=∠2．   …………………………………………… 2分
∴∠4+∠5=90°，即∠OEC=90°．
∴OE⊥EC．
∴CE是⊙O的切线． ……………………………………… 3分
（2）解：连接EF，

∵AF是直径，∴∠AEF=90°．
∵ ∠ACB=∠3，
∴tan∠3=tan∠ACB=．………………………………………… 4分
在RtΔAEF中，∵tan∠3=，∴ cos∠3=．
∴ AF==． 即 ⊙O的直径等于． ………………… 5分