Question

【题目】如图，抛物线y=x2﹣4x﹣5与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E．

（1）求直线BC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意令y=0，即x2﹣4x﹣5=0，

解得x1=﹣1，x2=5，

∴A（﹣1，0），B（5，0）

∴C点坐标为（0，﹣5），

设直线BC的解析式为：y=kx+b，

则

解得k=1，b=﹣5，

∴直线BC的解析式为：y=x﹣5

（2）解：设点D的横坐标为m，则D点的坐标为（m，m2﹣4m﹣5），则E点的坐标为（m，m﹣5），

∵点D是直线BC下方抛物线上一点，

∴DE的长度：m﹣5﹣（m2﹣4m﹣5）=﹣m2+5m=﹣（m﹣ ）+ ，

∵a=﹣1＜0，

∴当m= 时，线段DE的长度最大，

此时D点的坐标为（ ，﹣ ）

【解析】（1）解一元二次方程求出A、B的坐标，根据y轴上点的坐标特征求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式；（2）设点D的横坐标为m，表示出D点的坐标和E点的坐标，根据二次函数的性质解答即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的最值的相关知识，掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a，以及对抛物线与坐标轴的交点的理解，了解一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．