Question

【题目】如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx与x轴的另一个交点为A．点P在一次函数y=2x﹣2m的图象上，PH⊥x轴于H，直线AP交y轴于点C，点P的横坐标为1．（点C不与点O重合）
（1）如图1，当m=﹣1时，求点P的坐标．
（2）如图2，当 时，问m为何值时 ？
（3）是否存在m，使 ？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，当m=﹣1时，y=2x+2，

令x=1，则y=4，

∴点P的坐标为（1，4）；

（2）

解：如图2，∵PH⊥x轴，

∴PH∥OC，

∴△PAH∽△CAO，

∴ = ，

∵ =2，

∴ = =1，

∴OA= ．

令y=0，则﹣x2+2mx=0，

∴x1=0，x2=2m，

∴点A的坐标（2m，0），

∴2m= ，

∴m= ；

（3）

解：①当0＜m＜ 时，由（2）得m= ，

∴y=2x﹣ ，

令x=1，则y= ，

∴点P的坐标为（1， ）；

②如图3，当 ≤m＜1时，

∵PH⊥x轴，

∴PH∥OC，

∴△APH∽△ACO，

∴ = ，

∵ =2，

∴ = ，

∴OH= OA，

∵OH=1，

∴OA= ，

∴2m= ，m= ，

∴y=2x﹣ ，

令x=1，则y= ，

∴点P的坐标为（1， ）；

③如图4，当m≥1时，

∵PH⊥x轴，

∴PH∥OC，

∴△APH∽△ACO，

∴ = ，

∵ =2，

∴ = ，

∴OH= OA，

∵OH=1，

∴OA= ，

∴2m= ，m= ，

∵m＞1，∴m= 舍去；

④如图5，当m≤0时，

∵PH⊥x轴，

∴PH∥OC，

∴△APH∽△ACO，

∴ = ，

∵ =2，

∴CP＞AP，

又∵CP＜AP，

∴m的值不存在．

【解析】（1）先将m=﹣1代入y=2x﹣2m，得到y=2x+2，再令x=1，求出y=4，即可求出点P的坐标；（2）先由PH∥OC，得出△PAH∽△CAO，根据相似三角形对应边成比例得到 = ，由 =2，得出OA= ，再解方程﹣x2+2mx=0，求出点A的坐标（2m，0），则2m= ，m= ；（3）分四种情况讨论：①当0＜m＜ 时，由（2）得m= ，将m= 代入y=2x﹣2m，得到y=2x﹣ ，再将x=1代入，求出y的值，得到点P的坐标；
②当 ≤m＜1时，先由PH∥OC，得出△APH∽△ACO，根据相似三角形对应边成比例得到 = ，由 =2，得出OA= ，解方程2m= ，得出m= ，再同①；③当m≥1时，同②，求出m= 舍去；④当m≤0时，先由PH∥OC，得出△APH∽△ACO，根据相似三角形对应边成比例得到 = ，由 =2，得出CP＞AP，而CP＜AP，所以m的值不存在．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的概念的相关知识，掌握一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数，以及对二次函数的图象的理解，了解二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．