Question

【题目】已知二次函数y=﹣x2+2x+m．
（1）如果二次函数的图像与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图像过点A（3，0），与y轴交于点B，求直线AB与这个二次函数的解析式；

（3）在直线AB上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AB的距离DE最大时，求点D的坐标，并求DE最大距离是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：当抛物线与x轴有两个交点时，△＞0，即4+4m＞0，

∴m＞﹣1；

（2）

解：∵点A（3，0）在抛物线y=﹣x2+2x+m上，

∴﹣9+6+m=0，∴m=3．

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，且B（0，3），

设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（3，0），B（0，3）代入y=kx+b中，得到

，

解得 ，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+3；

（3）

解：过点D作y轴的垂线，垂足为C，再过点A作AG⊥CD，垂足为G，连接BD，AD，

∵AB为定值，∴当DE的值越大时，S△ADB的面积越大，

设D（x，y），DC=x，BC=y﹣3，DG=3﹣x，AG=y

∴S△ADB=S梯形AGCB﹣S△BDC﹣S△ADG，

∴S△ADB= ﹣ （y﹣3）x﹣ （3﹣x）y=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∵a=﹣ ＜0，

∴当 时，S△ADB的最大值= ，

将 代入y=﹣x2+2x+3，得到 ，即D（ ， ），

又∵S△ADB= DEAB，且AB= =3 ，

∴ ×3 DE= ．

∴DE= ，

答：DE的最大值为 ．

【解析】（1）根据抛物线与x轴有两个交点时，△＞0，即可得到结论；（2）把点A（3，0）代入y=﹣x2+2x+m得到﹣9+6+m=0得到B（0，3），解方程组即可得到结论；（3）过点D作y轴的垂线，垂足为C，再过点A作AG⊥CD，垂足为G，连接BD，AD，得到当DE的值越大时，S△ADB的面积越大，设D（x，y），DC=x，BC=y﹣3，DG=3﹣x，AG=y根据图形的面积公式即可得到结论．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的最值和抛物线与坐标轴的交点，掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．即可以解答此题．