题目内容

如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧
AC
的中点，BD交AC于点E．
（1）求证：AD2=DE•DB；
（2）若BC=
5
2
，CD=
5
2
，求DE的长．
（1）证明：由D是劣弧
AC
的中点，得
AD
=
DC
?∠ABD=∠DAC，
又∵∠ADB=∠EDA，
∴△ABD∽△EAD，
∴
AD
DE
=
DB
AD
，
∴AD2=DE•DB；

（2）由D是劣弧
AC
的中点，得AD=DC，则DC2=DE•DB
∵CB是直径，
∴△BCD是直角三角形．
∴BD=
BC2-CD2
=
(
5
2
)2-(
5
2
)2
=
5

由DC2=DE•DB得，(
5
2
)2=
5
DE，
解得DE=
5
4
．
练习册系列答案
相关题目
如图，在⊙O中弦AB⊥CD于点E，过E作AC的垂线交BD于点Q，P为垂足，求证Q为BD的中点．
已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=
15
．
（1）求EM的长；
（2）求sin∠EOB的值．
我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究．
例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）．
请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：
（1）如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线m（m和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些？（直接写出两个即可）
（2）如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线m和n（m与圆O分别交于点A、B，n与圆O分别交于点C、D）．请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之；
（3）如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是
ABC
的中点，弦DE⊥AB于点F．请找出点C和点E重合的条件，并说明理由．
如图，AB、CD为⊙O两弦，且AB=CD，M、N分别为AB、CD的中点，求证：∠AMN=∠CNM．
在⊙O中，弦AC、BD相交于点E，且弧AB=BC，弧BC=CD，若∠BEC=130°，则∠ACD的度数为（　　）
A．150B．30°C．80°D．105°
如图，A，B，C为⊙O上三点，若∠OAB=50°，则∠ACB=______度．
已知：如图，AD是△ABC外接圆⊙O的直径，AE是△ABC的边BC上的高，DF⊥BC，F为垂足．
（1）求证：BF=EC；
（2）若C点是弧AD的中点，且DF=3，AE=3，求BC的长．
如图，CD是半圆的直径，O为圆心，E是半圆上一点，且∠EOD=93°，A是DC延长线上一点，AE与半圆相交于点B，如果AB=OC，则∠EAD=______°，∠EOB=______°，∠ODE=______．

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