题目内容

某旅游胜地欲开发一座景观山.从山的侧面进行勘测,迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成,其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下,BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上.以过山脚(点C)的水平线为x轴、过山顶(点A)的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图(单位:百米).已知AB所在抛物线的解析式为y=-
1
4
x2+8,BC所在抛物线的解析式为y=
1
4
(x-8)2,且已知B(m,4).
(1)设P(x,y)是山坡线AB上任意一点,用y表示x,并求点B的坐标;
(2)从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶.这种台阶每级的高度为20厘米,长度因坡度的大小而定,但不得小于20厘米,每级台阶的两端点在坡面上(见图).
①分别求出前三级台阶的长度(精确到厘米);
②这种台阶不能一直铺到山脚,为什么?
(3)在山坡上的700米高度(点D)处恰好有一小块平地,可以用来建造索道站.索道的起点选择在山脚水平线上的点E处,OE=1600(米).假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线,解析式为y=
1
28
(x-16)2试求索道的最大悬空高度.
(1)∵P(x,y)是山坡线AB上任意一点,
∴y=-
1
4
x2+8,x≥0,
∴x2=4(8-y),x=2
8-y

∵B(m,4),∴m=2
8-y

∴B(4,4)(4分)

(2)在山坡线AB上,x=2
8-y
,A(0,8)
①令y0=8,得x0=0;令y1=8-0.002=7.998,
得x1=2
0.002
≈0.08944
∴第一级台阶的长度为x1-x0=0.08944(百米)≈894(厘米)(6分)
同理,令y2=8-2×0.002、y3=8-3×0.002,
可得x2≈0.12649、x3≈0.15492
∴第二级台阶的长度为x2-x1=0.03705(百米)≈371(厘米)(7分)
第三级台阶的长度为x3-x2=0.02843(百米)≈284(厘米)(8分)
②取点B(4,4),
又取y=4+0.002,则x=2
3.998
≈3.99900
∵4-3.99900=0.001<0.002
∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B,从而就不能一直铺到山脚.(10分)

(3)D(2,7)、E(16,0)、B(4,4)、C(8,0)由图可知,
只有当索道在BC上方时,索道的悬空高度才有可能取最大值(11分)
索道在BC上方时,
悬空高度y=
1
28
(x-16)2-
1
4
(x-8)2=
1
14
(-3x2+40x-96)=-
3
14
(x-
20
3
2+
8
3
(13分)
当x=
20
3
时,ymax=
8
3

∴索道的最大悬空高度为
800
3
米.(14分)
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