题目内容
【题目】如图，两个30°的角BAC与角MON，顶点A在射线ON上某处，现保持角MON不动，将角BAC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转，边AB、AC分别与边OM交于点P、Q，当AC∥OM时，交点Q消失旋转结束。设运动时间为t秒（t>0）.
（1）当t=2秒时，OP:PQ= ；
（2）在运动的过程中，△APQ能否成为等腰三角形？若能，请利用备用图，直接写出此时的运动时间；
（3）在（2）中判断△OAQ的形状，并选择其中的一个说明理由.
【答案】（1）2:1；
（2）当t=3s或6s时，△APQ为等腰三角形；
（3）△OAQ为等腰三角形，理由见解析.
【解析】
（1）当t=2秒时，∠PAO=30°，∠PQA=90°,根据等角对等边定理和30度角所对直角边等于斜边的一半可得出结论；
（2）先求出t的取值范围，然后分三种情况讨论，当△APQ为等腰三角形时∠PAO的大小，并进而得到t的值；
（3）由（2）得到t的值，代入求得△OAQ的内角度数，从而判断△OAQ的形状。
解：（1）如图1，
当t=2秒时，∠PAO=30°，
∵∠MON=∠BAC=30°
∴∠PAO=∠MON, ∠PQA=90°,
∴OP=AP,PQ=
AP，
∴OP:PQ= 2:1；
故答案为：2:1；
（2）当AC∥OM时，∠NAC=∠O=
，
∴∠OAB=
∴t=
∴0＜t＜8，
分三种情况： AP=AQ 、AP=PQ和QP=QA，
①当AP=AQ时，
∠APQ=∠AQP=
∴∠PAO=∠APQ-∠O=
∴t=
；
②当AP=PQ时，
∠APQ=
∴∠PAO=∠APQ-∠O=
∴t=
；
③当QP=QA时，
∠APQ=∠PAQ=
∴∠PAO=∠APQ-∠O=
即t=0s(舍去)
综上所述，当t=3s或6s时，△APQ为等腰三角形；
（3）当t=3s或6s时，△OAQ为等腰三角形,
理由是：
当t=3s时，∠OAP=45°，∠PAQ=30°，
∴∠OAQ=75°，
又∠AQP=75°，
∴OA=OQ,即△APQ为等腰三角形.
当t=6s时，∠OAP=90°，∠PAQ=30°，
∴∠OAQ=120°，
又∠AOQ=30°，
∴∠OQA=30°
∴OA=AQ,即△APQ为等腰三角形.
