题目内容
【题目】已知抛物线
与x轴分别交于
，
两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）点F是线段AD上一个动点．
①如图1，设
，当k为何值时，
.
②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与
相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．
【答案】（1）
，D的坐标为
；（2）①
；②以A，F，O为顶点的三角形与
相似，F点的坐标为
或
．
【解析】
(1)将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点
；
(2)①由A、C、D三点的坐标求出
，
，
，可得
为直角三角形，若
，则点F为AD的中点，可求出k的值；
②由条件可判断
，则
，若以A，F，O为顶点的三角形与
相似，可分两种情况考虑：当
或
时，可分别求出点F的坐标．
(1)
抛物线
过点
，
，
，解得：
，
抛物线解析式为
；
，
顶点D的坐标为
；
(2)①在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形，且
，
，
F为AD的中点，
，
；
②在
中，
，
在
中，
，
，
，
，
，
若以A，F，O为顶点的三角形与相似，则可分两种情况考虑：
当时，
，
，
设直线BC的解析式为
，
，解得：
，
直线BC的解析式为
，
直线OF的解析式为
，
设直线AD的解析式为
，
，解得：
，
直线AD的解析式为
，
，解得：
，
．
当时，
，
，
，
直线OF的解析式为
，
，解得：
，
，
综合以上可得F点的坐标为
或
．
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