题目内容

【题目】1)如图(1),已知:在ABC中,BAC=90°AB=AC,直线m经过点ABD直线mCE直线m,垂足分别为点DE.猜测DEBDCE三条线段之间的数量关系(直接写出结果即可).

2)如图(2),将(1)中的条件改为:在ABC中,AB=ACDAE三点都在直线m上,并且有BDA=AEC=BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问第(1)题中DEBDCE之间的关系是否仍然成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

3)拓展与应用:如图(3),DEDAE三点所在直线m上的两动点(DAE三点互不重合),点FBAC平分线上的一点,且ABFACF均为等边三角形,连接BDCE,若BDA=AEC=BAC,试判断线段DFEF的数量关系,并说明理由.

【答案】1DE=BD+CE2)成立,证明见解析;(3DF=EF证明见解析

【解析】

试题分析:1)利用已知得出CAE=ABD,进而利用AAS得出则ABD≌△CAE,即可得出DE=BD+CE

2)根据BDA=AEC=BAC=α,得出CAE=ABD,在ADBCEA中,根据AAS证出ADB≌△CEA,从而得出AE=BDAD=CE,即可证出DE=BD+CE

3)与前面的结论得到ADB≌△CEA,则BD=AEDBA=CAE,根据等边三角形的性质得ABF=CAF=60°,则DBA+ABF=CAE+CAF,则DBF=FAE

利用“SAS”可判断DBF≌△EAF,所以DF=EFBFD=AFE,于是DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60°,根据等边三角形的判定方法可得到DEF为等边三角形.则

DF=EF

解:(1DE=BD+CE.理由如下:

如图1BDlCEl

∴∠BDA=AEC=90°

∵∠BAC=90°

∴∠BAD+CAE=90°BAD+ABD=90°

∴∠CAE=ABD

ABDCAE中,

∴△ABD≌△CAEAAS

BD=AEAD=CE

DE=AD+AE

DE=CE+BD

2)如图2∵∠BDA=AEC=BAC=α

∴∠DBA+BAD=BAD+CAE=180°﹣α

∴∠CAE=ABD

ADBCEA中,

∴△ADB≌△CEAAAS),

AE=BDAD=CE

BD+CE=AE+AD=DE

3DF=EF.理由如下:

由(2)知,ADB≌△CAE

BD=EADBA=CAE

∵△ABFACF均为等边三角形,

∴∠ABF=CAF=60°

∴∠DBA+ABF=CAE+CAF

∴∠DBF=FAE

BF=AF

DBFEAF中,

∴△DBF≌△EAFSAS),

DF=EFBFD=AFE

∴∠DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60°

∴△DEF为等边三角形.

DF=EF

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