Question

如图，直线y=-x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，P（a，b）为双曲线y=

1

2x

(x＞0)上的一点，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F．
（1）当点P的坐标为（

3

4

，

2

3

）时，求E、F两点的坐标及△EOF的面积；
（2）用含a，b的代数式表示E、F两点的坐标及△EOF的面积；
（3）求BE•AF的值．

Answer 1

（1）∵点P的坐标为（

3

4

，

2

3

）
而PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴E点的横坐标为

3

4

，F点的纵坐标为

2

3

，
∵点E、F在直线y=-x+1上，
当x=

3

4

时，y=-

3

4

+1=

1

4

，
当y=

2

3

时，

2

3

=-x+1，则x=

1

3

，
∴E、F两点的坐标分别为（

3

4

，

1

4

）、（

1

3

，

2

3

）；
∵A点坐标为（1，0），B点坐标为（0，1），
∴S_△OAB=

1

2

×1×1=

1

2

，
∴S_△EOF=S_△OAB-S_△OBF-S_△OAE
=

1

2

-

1

2

×1×

1

3

-

1

2

×1×

1

4

=

5

24

；

（2）∵点P的坐标为（a，b），0＜a≤1，且b=

1

2a

，
而PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴E点的横坐标为a，F点的纵坐标为b，
∵点E、F在直线y=-x+1上，
∴当x=a时，y=-a+1，
当y=b时，b=-x+1，则x=-b+1，
∴E、F两点的坐标分别为（a，-a+1）、（-b+1，b）；
S_△EOF=S_△OAB-S_△OBF-S_△OAE
=

1

2

-

1

2

×1×（-b+1）-

1

2

×1×（-a+1）=

1

2

（a+b-1）；

（3）作EG⊥y轴于G，FH⊥x轴于H点，如图，
∵OA=OB=1，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴△GEB、△FHA都为等腰直角三角形，
∴BE=

2

GE，AF=

2

FH，
而E、F两点的坐标分别为（a，-a+1）、（-b+1，b），ab=1，
∴BE=

2

a，AF=

2

b，
∴BE•AF=2ab=2×

1

2

=1．