Question

【题目】（9分）探究题：如图：

（1）△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P在边BC上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论；

（2）如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其他条

件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．请你利用图（2）的情形，

求证：∠BQP=60°；

（3）如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其他条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE吗？写出证明过程．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）DE=PE

【解析】

试题（1）由△ABC为等边三角形，可得∠C=∠ABP=60°，AB=BC，又由这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，可得BP=CD，即可利用SAS，判定△ABP≌△BCD，继而证得结论；

（2）同理可证得△ABP≌△BCD（SAS），则可得∠APB=∠BDC，然后由∠APB+∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，求得∠BDC+∠DAQ=∠BQP=60°；

（3）首先过点D作DG∥AB交BC于点G，则可证得△DCG为等边三角形，继而证得△DGE≌△PBE（AAS），则可证得结论．

试题解析：解：（1）成立．

理由：∵△ABC是等边三角形，

∴∠C=∠ABP=60°，AB=BC，

根据题意得：CD=BP，

在△ABP和△BCD中，

，

∴△ABP≌△BCD（SAS），

∴AP=BD；

（2）根据题意，CP=AD，

∴CP+BC=AD+AC，

即BP=CD，

在△ABP和△BCD中，

，

∴△ABP≌△BCD（SAS），

∴∠APB=∠BDC，

∵∠APB+∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，

∴∠BDC+∠DAQ=∠BQP=60°；

（3）DE=PE．

理由：过点D作DG∥AB交BC于点G，

∴∠CDG=∠C=∠CGD=60°，∠GDE=∠BPE，

∴△DCG为等边三角形，

∴DG=CD=BP，

在△DGE和△PBE中，

，

∴△DGE≌△PBE（AAS），

∴DE=PE．