题目内容

【题目】(9分)探究题:如图:

(1)ABC为等边三角形,动点D在边CA上,动点P边BC上,若这两点分别从C、B点同时出发,以相同的速度由C向A和由B向C运动,连接AP,BD交于点Q,两点运动过程中AP=BD成立吗?请证明你的结论;

(2)如果把原题中“动点D在边CA上,动点P边BC上,”改为“动点D,P在射线CA和射线BC上运动”,其他条

件不变,如图(2)所示,两点运动过程中BQP的大小保持不变.请你利用图(2)的情形,

求证:BQP=60°;

(3)如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动,连接PD交BC于E”,其他条件不变,如图(3),则动点D,P在运动过程中,DE始终等于PE吗?写出证明过程.

【答案】(1)(2)见解析(3)DE=PE

【解析】

试题(1)由ABC为等边三角形,可得C=ABP=60°,AB=BC,又由这两点分别从C、B点同时出发,以相同的速度由C向A和由B向C运动,可得BP=CD,即可利用SAS,判定ABP≌△BCD,继而证得结论;

(2)同理可证得ABP≌△BCD(SAS),则可得APB=BDC,然后由APB+PAC=ACB=60°,DAQ=PAC,求得BDC+DAQ=BQP=60°;

(3)首先过点D作DGAB交BC于点G,则可证得DCG为等边三角形,继而证得DGE≌△PBE(AAS),则可证得结论.

试题解析:解:(1)成立.

理由:∵△ABC是等边三角形,

∴∠C=ABP=60°,AB=BC,

根据题意得:CD=BP,

ABP和BCD中,

∴△ABP≌△BCD(SAS),

AP=BD;

(2)根据题意,CP=AD,

CP+BC=AD+AC,

即BP=CD,

ABP和BCD中,

∴△ABP≌△BCD(SAS),

∴∠APB=BDC,

∵∠APB+PAC=ACB=60°,DAQ=PAC,

∴∠BDC+DAQ=BQP=60°;

3)DE=PE.

理由:过点D作DGAB交BC于点G,

∴∠CDG=C=CGD=60°,GDE=BPE,

∴△DCG为等边三角形,

DG=CD=BP,

DGE和PBE中,

∴△DGE≌△PBE(AAS),

DE=PE.

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