题目内容
【题目】(9分)探究题:如图:
(1)△ABC为等边三角形,动点D在边CA上,动点P在边BC上,若这两点分别从C、B点同时出发,以相同的速度由C向A和由B向C运动,连接AP,BD交于点Q,两点运动过程中AP=BD成立吗?请证明你的结论;
(2)如果把原题中“动点D在边CA上,动点P边BC上,”改为“动点D,P在射线CA和射线BC上运动”,其他条
件不变,如图(2)所示,两点运动过程中∠BQP的大小保持不变.请你利用图(2)的情形,
求证:∠BQP=60°;
(3)如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动,连接PD交BC于E”,其他条件不变,如图(3),则动点D,P在运动过程中,DE始终等于PE吗?写出证明过程.
【答案】(1)(2)见解析(3)DE=PE
【解析】
试题(1)由△ABC为等边三角形,可得∠C=∠ABP=60°,AB=BC,又由这两点分别从C、B点同时出发,以相同的速度由C向A和由B向C运动,可得BP=CD,即可利用SAS,判定△ABP≌△BCD,继而证得结论;
(2)同理可证得△ABP≌△BCD(SAS),则可得∠APB=∠BDC,然后由∠APB+∠PAC=∠ACB=60°,∠DAQ=∠PAC,求得∠BDC+∠DAQ=∠BQP=60°;
(3)首先过点D作DG∥AB交BC于点G,则可证得△DCG为等边三角形,继而证得△DGE≌△PBE(AAS),则可证得结论.
试题解析:解:(1)成立.
理由:∵△ABC是等边三角形,
∴∠C=∠ABP=60°,AB=BC,
根据题意得:CD=BP,
在△ABP和△BCD中,
,
∴△ABP≌△BCD(SAS),
∴AP=BD;
(2)根据题意,CP=AD,
∴CP+BC=AD+AC,
即BP=CD,
在△ABP和△BCD中,
,
∴△ABP≌△BCD(SAS),
∴∠APB=∠BDC,
∵∠APB+∠PAC=∠ACB=60°,∠DAQ=∠PAC,
∴∠BDC+∠DAQ=∠BQP=60°;
(3)DE=PE.
理由:过点D作DG∥AB交BC于点G,
∴∠CDG=∠C=∠CGD=60°,∠GDE=∠BPE,
∴△DCG为等边三角形,
∴DG=CD=BP,
在△DGE和△PBE中,
,
∴△DGE≌△PBE(AAS),
∴DE=PE.