Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点A的坐标为（3,15），且过点（－2，10），对称轴AB交轴于点B，点E是线段AB上一动点，以EB为边在对称轴右侧作矩形EBCD，使得点D恰好落在抛物线上，点D′是点D关于直线EC的轴对称点.

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D′恰好落在轴上的点（0，6）时，求此时D点的坐标；
（3）直线CD′交对称轴AB于点F,
①当点D′在对称轴AB的左侧时，且△ED′F∽△CDE，求出DE:DC的值；
②连结B D′，是否存在点E，使△E D′B为等腰三角形？若存在，请直接写出BE:BC的值，若不存在请说明理由.

Answer 1

（1）;（2）(8,10); （3）①;②.

试题分析：（1）由已知,应用待定系数法设顶点式求解;
（2）根据勾股定理和轴对称的性质列方程组求解;
（3）①由勾股定理和相似三角形的性质列式求解;
②由①可知△ED′F≌△CBF时, D′F=BF,从而得出结论.
试题解析：（1）∵抛物线的顶点A的坐标为（3,15），
∴可设抛物线的解析式为.
∵抛物线过点（－2，10）, ∴.解得.
∴抛物线的解析式为,即.
（2）设D(x,ｙ),则E(3, ｙ), DE="x-3," DC=ｙ.
由D′（0，6）,根据勾股定理,得: D′C=, D′E=,
根据轴对称的性质,有D′C="DC," D′E= DE,即,解得.
∴此时D点的坐标为(8,10).

（3）①易证△ED′F≌△CBF,则D′F=BF.
设D′C=DC=a,D′E=DE=b,D′F=BF=c,
在Rt△CBF中,由勾股定理,得:CF²=BF²+D′C²,即(D′C- D′F)²=BF²+D′C².
∴,整理,得.
∵△ED′F∽△CDE，∴,即,即,即,即.
∴DE:DC=.
②存在,由①可知BE:BC=.