Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．

（1）判断线段AC与AE是否相等，并说明理由；
（2）求过A、C、D三点的圆的直径．

Answer 1

（1）AC＝AE；（2）

试题分析：（1）由∠ACB＝90°可得AD为直径，再根据AD是△ABC的角平分线，可得，即得，即可证得结论；
（2）先跟勾股定理求得AB的长，从而得到BE的长，证得△ABC∽△DBE，根据相似三角形的对应边成比例即可求得DE的长，再根据勾股定理即可求得结果。
（1）∵∠ACB＝90°， 
∴AD为直径，   
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴，
∴，
∴在同一个⊙O中，AC＝AE；    
（2）∵AC=5，CB=12，
∴AB=，
∵AE=AC=5，
∴BE=AB-AE=13-5=8，       
∵AD是直径，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△DBE，   
∴，
∴DE＝ ， 
∴AD＝ 
∴△ACD外接圆的直径为．
点评：解答本题的关键是熟练掌握90°的圆周角所对的弦是直径；在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等。