Question

（1）如图①，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE=CF．
（2）如图②，将?ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A₁处，点B落在点B₁处，设FB₁交CD于点G，A₁B₁分别交CD，DE于点H，I．求证：EI=FG．

Answer 1

（1）通过证明△AOE和△COF全等得出AE=CF（2）通过证明△A₁IE与△CGF全等得出EI=FG..

试题分析：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，
在△AOE和△COF中，
，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，由（1）得AE=CF，
由折叠的性质可得：AE=A₁E，∠A₁=∠A，∠B₁=∠B，
∴A₁E=CF，∠A₁=∠A=∠C，∠B₁=∠B=∠D，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠5=∠3，∠4=∠6，∴∠5=∠6，在△A₁IE与△CGF中，
，∴△A₁IE≌△CGF（AAS），∴EI=FG．

点评：此种试题为常考题，证明边相等通常首选证明相关三角形全等，由其性质得出对应边相等，学生要牢牢掌握全等三角形的五个判定。