题目内容

如图,已知在□ABCD中,AB⊥AC,AB=OA,BC=,对角线AC、BD交于O点,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC、AD于点EF.

(1)证明:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;
(2)试证明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;
(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?如果不可能,请说明理由;如果可能,说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
(1)当旋转角为90°时,∠AOF=90°,由AB⊥AC,可得AB∥EF,即可证明四边形ABEF为平行四边形;
(2)根据平行四边形的性质证得△AOF≌△COE即可;(3)45度.

试题分析:(1)当旋转角为90°时,∠AOF=90°,由AB⊥AC,可得AB∥EF,即可证明四边形ABEF为平行四边形;
(2)根据平行四边形的性质证得△AOF≌△COE即可;
(3)EF⊥BD时,四边形BEDF为菱形,可根据勾股定理求得AC=2,则OA=1=AB,又AB⊥AC,即可求得结果.
(1)当∠AOF=90°时,AB∥EF,
又∵AF∥BE,
∴四边形ABEF为平行四边形.
(2)∵四边形ABCD为平行四边形,
在△AOF和△COE中
∵∠FAO=∠ECO,AO=CO,∠AOF=∠ECO
∴△AOF≌△COE(ASA)
∴AF=EC;
(3)四边形BEDF可以是菱形.
理由:如图,连接BF,DE

由(2)知△AOF≌△COE,得OE=OF,
∴EF与BD互相平分.
∴当EF⊥BD时,四边形BEDF为菱形.
在Rt△ABC中,
∴OA=1=AB,
又∵AB⊥AC,
∴∠AOB=45°,
∴∠AOF=45°,
∴AC绕点O顺时针旋转45°时,四边形BEDF为菱形.
点评:本题知识点较多,综合性强,是中考常见题,难度不大,学生需熟练掌握平面图形的基本概念.
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