Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．

（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；
（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），

∴设抛物线的函数解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

将点C（0，3）代入上式，得：3=a（0+1）（0﹣3），

解得：a=﹣1，

∴所求抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3

（2）

解：由（1）知，抛物线的对称轴为x=﹣ =1，

如图1，设点M坐标为（m，﹣m2+2m+3），

∴ME=|﹣m2+2m+3|，

∵M、N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，

∴点N的横坐标为2﹣m，

∴MN=2m﹣2，

∵四边形MNFE为正方形，

∴ME=MN，

∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2，

分两种情况：

①当﹣m2+2m+3=2m﹣2时，解得：m1= 、m2=﹣ （不符合题意，舍去），

当m= 时，正方形的面积为（2 ﹣2）2=24﹣8 ；

②当﹣m2+2m+3=2﹣2m时，解得：m3=2+ ，m4=2﹣ （不符合题意，舍去），

当m=2+ 时，正方形的面积为[2（2+ ）﹣2]2=24+8 ；

综上所述，正方形的面积为24+8 或24﹣8

（3）

解：设BC所在直线解析式为y=kx+b，

把点B（3，0）、C（0，3）代入表达式，得：

，解得： ，

∴直线BC的函数表达式为y=﹣x+3，

设点M的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则点N（2﹣a，﹣a2+2a+3），点D（a，﹣a+3），

①点M在对称轴右侧，即a＞1，

则|﹣a+3﹣（﹣a2+2a+3）|=a﹣（2﹣a），即|a2﹣3a|=2a﹣2，

若a2﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a2﹣3a=2a﹣2，

解得：a= 或a= ＜1（舍去）；

若a2﹣3a＜0，即0≤a≤3，a2﹣3a=2﹣2a，

解得：a=﹣1（舍去）或a=2；

②点M在对称轴右侧，即a＜1，

则|﹣a+3﹣（﹣a2+2a+3）|=2﹣a﹣a，即|a2﹣3a|=2﹣2a，

若a2﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a2﹣3a=2﹣2a，

解得：a=﹣1或a=2（舍）；

若a2﹣3a＜0，即0≤a≤3，a2﹣3a=2a﹣2，

解得：a= （舍去）或a= ；

综上，点M的横坐标为 、2、﹣1、

【解析】（1）待定系数法求解可得；（2）设点M坐标为（m，﹣m2+2m+3），分别表示出ME=|﹣m2+2m+3|、MN=2m﹣2，由四边形MNFE为正方形知ME=MN，据此列出方程，分类讨论求解可得；（3）先求出直线BC解析式，设点M的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则点N（2﹣a，﹣a2+2a+3）、点D（a，﹣a+3），由MD=MN列出方程，根据点M的位置分类讨论求解可得．
【考点精析】关于本题考查的确定一次函数的表达式，需要了解确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法才能得出正确答案．