题目内容
如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,D在AB的延长线上,CA=CD,∠ACD=120°,BD=10.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)求⊙O的半径.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)求⊙O的半径.
考点:切线的判定
专题:
分析:(1)连接OC,根据等腰三角形的性质,三角形的内角和与外角的性质,证得∠OCD=90°,即可证得CD是⊙O的切线;
(2)根据直角三角形有一个角是30度,30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半,即可证得OB=BD.
(2)根据直角三角形有一个角是30度,30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半,即可证得OB=BD.
解答:(1)证明:连接OC,
∵CA=CD,∠ACD=120°,
∴∠A=∠D=30°,
∴∠COD=2∠A=2×30°=60°,
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°,
∴OC⊥CD,
∵OC是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线;
(2)解:由(1)得:∠OCD=90°,
在直角△OCD中,∵∠D=30°,
∴OD=2OC,
∵OC=OB,
∴OD=2OB,
∴OB=BD=10,
∴⊙O的半径是10.
∵CA=CD,∠ACD=120°,
∴∠A=∠D=30°,
∴∠COD=2∠A=2×30°=60°,
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°,
∴OC⊥CD,
∵OC是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线;
(2)解:由(1)得:∠OCD=90°,
在直角△OCD中,∵∠D=30°,
∴OD=2OC,
∵OC=OB,
∴OD=2OB,
∴OB=BD=10,
∴⊙O的半径是10.
点评:本题主要考查了等腰三角形的性质,三角形的内角和与外角的性质,直角三角形的性质,切线的判定定理,难度适中.在判定一条直线为圆的切线时,当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该线段的长等于半径,可简单的说成“无交点,作垂线段,证半径”;当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线,可简单地说成“有交点,作半径,证垂直”.
练习册系列答案
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如图,半径为4
的等圆⊙O1与⊙O2交于点A、B,且O1A⊥O2A,则图中阴影部分的面积是( )
2 |
A、4π-8 |
B、8π-16 |
C、16π-16 |
D、16π-32 |