题目内容
如图,E是?ABCD内一点,已知DE⊥AD,∠CBE=∠CDE,∠BCE=45°,延长CE交AD、BA的延长线于F、G,连接BF.下列结论:①BE=CD;②四边形BCDF为等腰梯形;③BE⊥AB;④AF=
CE.其中结论正确的个数是( )
2 |
A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
考点:相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质,等腰梯形的判定
专题:压轴题
分析:根据平行四边形的性质得出∠ABC=∠ADC,即可求出∠ABE=∠ADE,延长DE交BC于N,过E作EM⊥CF交BC于M,根据AAS证△BME≌△DEC,推出BE=CD即可;连接DM,求出∠BME=∠DEM,证△BME≌△DEM,推出∠CBE=∠EDM=∠CDE,BE=DM,求出MD=BF,求出BF=CD,根据等腰梯形的判定推出即可;根据△BME≌△△DEC,推出BM=DE,EM=DE,求出DF=DE=BM,推出CM=AF,在Rt△MEC中,由勾股定理求出CM=
CE即可.
2 |
解答:解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC,
∵∠CBE=∠CDE,
∴∠ABC-∠CBE=∠ADC-∠CDE,
∴∠ABE=∠ADE,
∵DE⊥AD,
∴∠ADE=90°,
∴∠ABE=90°,
∴BE⊥AB,∴③正确;
延长DE交BC于N,过E作EM⊥CF交BC于M,
则∠MEC=90°,
∵∠BCE=45°,
∴∠EMC=45°=∠BCE,
∴CE=ME,∠BME=∠BCE+∠MEC=45°+90°=135°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴NC∥AD,
∵DE⊥AD,
∴DN⊥BC,
∴∠DNC=90°,
∴∠CED=90°+45°=135°,
∴∠BME=∠DEC=135°,
在△BME和△DEC中,
,
∴△BME≌△DEC(AAS),
∴BE=CD,∴①正确;
连接DM,
∵∠BME=∠CED=135°,∠MEC=90°,
∴∠MED=360°-90°-135°=135°,
∴∠BME=∠DEM,
在△BME和△DEM中,
,
∴△BME≌△DEM(SAS),
∴∠CBE=∠EDM=∠CDE,BE=DM,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,BC=AD,
∵CM=AF,
∴BM=DF,
∴四边形BMDF是平行四边形,
∴MD=BF,
∵BE=DM,BE=CD,
∴BF=CD,
∵DF∥BC,
∴四边形BCDF是等腰梯形,∴②正确;
∵△BME≌△△DEC,
∴BM=DE,EM=DE,
∵∠FDE=90°,∠FED=180°-135°=45°,
∴∠DFE=∠FED=45°,
∴DF=DE=BM,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,
∴CM=AF,
在Rt△MEC中,∠MEC=90°,CE=EM,由勾股定理得:CM=
CE,
即AF=
CE,
∴④正确;
故选D.
∴∠ABC=∠ADC,
∵∠CBE=∠CDE,
∴∠ABC-∠CBE=∠ADC-∠CDE,
∴∠ABE=∠ADE,
∵DE⊥AD,
∴∠ADE=90°,
∴∠ABE=90°,
∴BE⊥AB,∴③正确;
延长DE交BC于N,过E作EM⊥CF交BC于M,
则∠MEC=90°,
∵∠BCE=45°,
∴∠EMC=45°=∠BCE,
∴CE=ME,∠BME=∠BCE+∠MEC=45°+90°=135°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴NC∥AD,
∵DE⊥AD,
∴DN⊥BC,
∴∠DNC=90°,
∴∠CED=90°+45°=135°,
∴∠BME=∠DEC=135°,
在△BME和△DEC中,
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∴△BME≌△DEC(AAS),
∴BE=CD,∴①正确;
连接DM,
∵∠BME=∠CED=135°,∠MEC=90°,
∴∠MED=360°-90°-135°=135°,
∴∠BME=∠DEM,
在△BME和△DEM中,
|
∴△BME≌△DEM(SAS),
∴∠CBE=∠EDM=∠CDE,BE=DM,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,BC=AD,
∵CM=AF,
∴BM=DF,
∴四边形BMDF是平行四边形,
∴MD=BF,
∵BE=DM,BE=CD,
∴BF=CD,
∵DF∥BC,
∴四边形BCDF是等腰梯形,∴②正确;
∵△BME≌△△DEC,
∴BM=DE,EM=DE,
∵∠FDE=90°,∠FED=180°-135°=45°,
∴∠DFE=∠FED=45°,
∴DF=DE=BM,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,
∴CM=AF,
在Rt△MEC中,∠MEC=90°,CE=EM,由勾股定理得:CM=
2 |
即AF=
2 |
∴④正确;
故选D.
点评:本题考查了全等三角形的性质和判定,等腰梯形的判定,全等三角形的性质和判定,平行线性质等知识点的应用,难度偏大,对学生提出更高的要求.
练习册系列答案
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某读书小组的学生将自己的图书向本组其他成员各赠送一本,全组共互赠156本,如果全组有x名学生,则根据题意可列方程为( )
A、x(x-1)=156 |
B、2x(x-1)=156 |
C、3x(x+1)=156 |
D、x(x+1)=156 |