Question

20．将三角尺的直角顶点P放在矩形ABCD的对角线BD上，使其一条直角边经过点A，另一条直角边和CD交于点E．
（1）如图①，分别过点P作PM⊥AD、PN⊥CD，垂足分别为点M、N．
 ①求证△PMA∽△PNE；         ②求证：tan∠ADB=$\frac{PA}{PE}$．
（2）如图②，若AB=4，BC=3，过点E作EF⊥BD于点F，连接AF，则随着点P取不同的位置，△PAF的面积是否发生变化？若不变，求出其面积；若改变，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①根据两角相等证明相似；②根据上问的三角形相似得：$\frac{PM}{PN}=\frac{PA}{PE}$，根据根据矩形DMPN得：DM=PN，由直角△DMP的锐角正切可得结论；
（2）作辅助线，构建相似三角形，根据（1）中的结论得：tan∠ADB=$\frac{AP}{PE}=\frac{AB}{AD}$=$\frac{4}{3}$，证明△GAP∽△FPE，
则$\frac{AP}{PE}=\frac{AG}{PF}$，可求得PF的长，利用面积法求出AG的长，代入面积公式可得结论．

解答 证明：（1）如图①，
①∵∠EPA=90°，
∴∠APM+∠MPE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵PM⊥AD，PN⊥DC，
∴∠DMP=∠PND=90°，
∴四边形DMPN为矩形，
∴∠MPN=90°，
∴∠EPN+∠MPE=90°，
∴∠APM=∠EPN，
∵∠AMP=∠PNE=90°，
∴△PMA∽△PNE；
②∵△PMA∽△PNE，
∴$\frac{PM}{PN}=\frac{PA}{PE}$，
∵四边形DMPN为矩形，
∴DM=PN，
在Rt△DPM中，tan∠ADB=$\frac{PM}{DM}$，
∴tan∠ADB=$\frac{PM}{PN}=\frac{PA}{PE}$；
（2）△PAF的面积不发生变化，理由是：
如图②，过A作AG⊥BD于G，
∵AD=BC=3，AB=4，∠DAB=90°，
∴BD=5，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AG=$\frac{1}{2}$AD•AB，
∴BD•AG=AD•AB，
∴AG=$\frac{3×5}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∵∠APE=90°，
∴∠APG+∠GPE=90°，
∵∠AGP=90°，
∴∠APG+∠GAP=90°，
∴∠GPE=∠GAP，
∵∠AGP=∠EFP=90°，
∴△GAP∽△FPE，
∴$\frac{AP}{PE}=\frac{AG}{PF}$，
由（1）得：tan∠ADB=$\frac{AP}{PE}=\frac{AB}{AD}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AG}{PF}$=$\frac{4}{3}$，
∴3AG=4PF，
∴PF=3×$\frac{12}{5}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{9}{5}$，
∴S_△APF=$\frac{1}{2}$PF•AG=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{5}$×$\frac{12}{5}$=$\frac{54}{25}$．
答：△PAF的面积是$\frac{54}{25}$．

点评 本题是相似三角形的综合题，难度适中，考查了相似三角形的性质和判定、矩形的性质及三角函数的定义，在证明两三角形相似时常利用两角对应相等证明相似，本题也是如此；在利用比例式求线段的长时，可以利用相似列比例式，也可以利用同角的三角函数列比例式．