Question

如图，在平面直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E．
（1）若抛物线y=

1

4

x2+bx+c经过C、D两点，求此抛物线的解析式并判断点B是否在此抛物线上．
（2）若在（1）中的抛物线的对称轴有一点P，使得△PBD的周长最短，求点P的坐标．
（3）若点M为（1）中抛物线上一点，点N为其对称轴上一点，是否存在以点B、C、M、N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由已知，得B（-2，0）C（8，0），D（0，-4）
将C、D两点代入得：

1 4 ×82+8b+c=0 c=-4

，
解得b=-

3

2

，c=-4，
∴抛物线的解析式为y=

1

4

x2-

3

2

x-4
∵

1

4

(-2)2-

3

2

×(-2)-4=0，
∴点B在这条抛物线上．

（2）要使△PBD的周长最短，由于边BD是定值，只需PB+PD最小，
∵点B、C关于对称轴x=3对称，
∴直线CD与对称轴x=3的交点就是所求的点P．
设直线CD的解析式为y=kx+m．将C、D两点代入，得

8k+m=0 m=-4

，
解得k=

1

2

，m=-4，
∴直线CD的解析式为y=

1

2

x-4当x=3时，y=-

5

2

，
∴点P的坐标为（3，-2.5）．

（3）存在．
M（-7，

75

4

），N（3，

75

4

）或M（13，

75

4

），N（3，

75

4

）或M（3，-

25

4

），N（3，

25

4

）