题目内容
【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)求证:BC= AB;
(3)点M是 的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MNMC的值.
【答案】
(1)解:证明:∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO.
又∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB,
∴∠A=∠ACO=∠PCB.
又∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACO+∠OCB=90°.
∴∠PCB+∠OCB=90°.
即OC⊥CP,
∵OC是⊙O的半径.
∴PC是⊙O的切线.
(2)解:证明:∵AC=PC,
∴∠A=∠P,
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P.
又∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB,
∴∠COB=∠CBO,
∴BC=OC.
∴BC= AB.
(3)解:连接MA,MB,
∵点M是 的中点,
∴ ,
∴∠ACM=∠BCM.
∵∠ACM=∠ABM,
∴∠BCM=∠ABM.
∵∠BMN=∠BMC,
∴△MBN∽△MCB.
∴ .
∴BM2=MNMC.
又∵AB是⊙O的直径, ,
∴∠AMB=90°,AM=BM.
∵AB=4,
∴BM=2 .
∴MNMC=BM2=8.
【解析】(1)已知点C在圆上,故只需证明OC与PC垂直即可,根据圆周角定理,得∠PCB+∠OCB=90°.即OC⊥CP,故PC是⊙O的切线;(2)AB事直径,故只需证明BC与半径相等即可;(3)连接MA,MB,由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM.进而可证△MBN∽△MCB.故BM2=MNMC.代入数据可得MNMC=BM2=8.