题目内容

【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.

(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)求证:BC= AB;
(3)点M是 的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MNMC的值.

【答案】
(1)解:证明:∵OA=OC,

∴∠A=∠ACO.

又∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB,

∴∠A=∠ACO=∠PCB.

又∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACO+∠OCB=90°.

∴∠PCB+∠OCB=90°.

即OC⊥CP,

∵OC是⊙O的半径.

∴PC是⊙O的切线.


(2)解:证明:∵AC=PC,

∴∠A=∠P,

∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P.

又∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB,

∴∠COB=∠CBO,

∴BC=OC.

∴BC= AB.


(3)解:连接MA,MB,

∵点M是 的中点,

∴∠ACM=∠BCM.

∵∠ACM=∠ABM,

∴∠BCM=∠ABM.

∵∠BMN=∠BMC,

∴△MBN∽△MCB.

∴BM2=MNMC.

又∵AB是⊙O的直径,

∴∠AMB=90°,AM=BM.

∵AB=4,

∴BM=2

∴MNMC=BM2=8.


【解析】(1)已知点C在圆上,故只需证明OC与PC垂直即可,根据圆周角定理,得∠PCB+∠OCB=90°.即OC⊥CP,故PC是⊙O的切线;(2)AB事直径,故只需证明BC与半径相等即可;(3)连接MA,MB,由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM.进而可证△MBN∽△MCB.故BM2=MNMC.代入数据可得MNMC=BM2=8.

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