Question

如图，在直角坐标系中，O为原点，A（1,3）B（－2,0），△AOB的外接圆M交y轴于E点，AC是直径，AD⊥OD于D。

(1﹚求证：AD·AC=AB·AO；
(2﹚求E、C两点坐标。

Answer 1

（1）证明见解析(2﹚E（0，4），C（-3，1）

（1）证明：如图：连接BC，AO，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90=∠ADO，
又∵ACBO是⊙M的内接四边形，
∴∠AOD=∠C．
∴△ACB∽△AOD，
∴，
∴AD•AC=AB•AO．
（2）解：如图： AD=BD=3，AB=3，
由（1）得：BC=，
过点C作CF⊥BD于F，则CF=BF=1，
∴C（-3，1）．
∵A（1，3），M是AC的中点，
∴M（-1，2）
过点M作MH⊥OE于H，则H（0，2），
∴E（0，4）．

（1）连接BC，OA，根据直径所对的圆周角是直角，以及圆内接四边形的一外角等于与它不相邻的内对角，可以判定△ABC∽△ADO，再用相似三角形对应边的比相等证明等式成立．
（2）由A，B两点的坐标可以得到△ABD是等腰直角三角形，然后用（1）中相似三角形的性质，求出BC边的长，得到点C的坐标，然后用垂径定理得到点E的坐标