Question

如图，已知等边，以边BC为直径的半圆与边AB,AC分别交于点D、E,过点D作DF⊥AC于点F，

（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC于点H，若等边的边长为8，求AF，FH的长。

Answer 1

（1）DF与⊙O相切，证明见解析（2）2，

（1）DF与⊙O相切   …………………………1分
证明：连接OD 
∵是等边三角形    
∴∠A=∠B=∠C=60⁰                                    
∵OD=OB
∴△ODB是等边三角形 ……………………………2分
∴∠DOB=60⁰
∴∠DOB =∠C=60⁰
∴OD∥AC
∵DF⊥AC
∴ DO⊥DF  …………………………………………4分
∴DF与⊙O相切………………………………………5分
（2）解：连接CD          
∵CB是⊙O直径                        
∴DC⊥AB                             
又∵AC=CB=AB                        
∴D是AB中点                          
∴AD=                   
在直角三角形ADF中                      
∠A=60⁰  ∠ADF=30⁰  ∠AFD=90⁰            
∴………….7分
∴FC=AC-AF=8-2=6
∵ FH⊥BC
∴∠FHC=90⁰
∵∠C=60⁰
∴ ∠FHC=30⁰
∴
∴ …..9分
(1)根据“经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线”定理，（连半径，证垂直即可）
（2）利用直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的三线合一及直角三角形的勾股定理即可