题目内容
【题目】一次函数的图像与轴、轴分别交于点、,以为边在第二象限内作等边.
(1)求点的坐标;
(2)在第二象限内有一点,使,求点的坐标;
(3)将沿着直线翻折,点落在点处;再将绕点顺时针方向旋转15°,点落在点处,过点作轴于.求的面积.
【答案】(1)C(-2,4);(2)M(-5,1);(3)2.
【解析】
(1)先求得A、B的坐标,勾股定理求出AB后可得到∠BAO=30°,则∠CAO=90°,从而可得到点C的坐标;
(2)过点C作CM∥AB,则S△ABM=S△ABC.设直线CM的解析式为,将点C的坐标代入求得b的值,然后将y=1代入MC的解析式可求得点M的横坐标;
(3)先判断出折叠后点C落在y轴上,即E在y轴上.在EG上取一点H,使EH=FH,连接FH.先求出∠FHG=30°,设FG=a,进而表示出EG,用勾股定理建立方程求出a2,最后用面积公式即可得出结论.
解:(1)当x=0时,y=2,
∴B(0,2).
当y=0时,x=-2 ,
∴A(-2,0).
∴OB=2,OA=2,
∴AB=4,
∴∠BAO=30°,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠CAB=60°,AC= AB=4.
∴∠CAO=90°.
∴C(-2,4).
(2)如图1,过点C作CM∥AB.
∵CM∥AB,
∴S△ABM=S△ABC.
设直线CM的解析式为,
将点C的坐标代入得,
解得b=6.
∴直线CM的解析式为,
将y=1代入MC的解析式得:,
解得:x=-5
∴M(-5,1).
(3)如图2,
由(1)知A(-2,0),B(0,2),
∵△ABC为等边三角形,AB=4,
∴∠CBA=60°,BC=AB=4,
又∠ABO=60°,
∴折叠后点C落在y轴上,即E在y轴上
由折叠知,BE=BC=4,
由旋转知,EF=BE=4,∠BEF=15°,
在EG上取一点H,使EH=FH,连接FH,
∴∠FHG=30°,
设FG=a,
∴HG=a,FH=2a,
∴EH=2a,
∴EG=EH+HG=2a+a=(2+)a,
在Rt△EFG中,根据勾股定理得,a2+[(2+)a]2=16,
∴a2== ,
∴S△EFG EG×FG
=(2+)a×a
=
=2.