Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，AB=15，动点P从点A出发，沿AC→CB→BA边运动，点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位，直线l从与AC重合的位置开始，以每秒 个单位的速度沿CB方向移动，移动过程中保持l∥AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．

（1）当t=秒时，△PCE是等腰直角三角形；
（2）当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点P1落在EF上，点F的对应点为F1 ， 当EF1⊥AB时，求t的值；
（3）作点P关于直线EF的对称点Q，在运动过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，求t的值；
（4）在整个运动过程中，设△PEF的面积为S，请直接写出S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）

解：如图1，

由题意，∠PEF=∠P1EF1，

∵EF∥AC，∠C=90°，

∴∠BEF=90°，

∠CPE=∠PEF，

∵EF1⊥AB，

∴∠B=∠P1EF1，

∴∠CPE=∠B，

∴tan∠CPE=tanB= = ，

∵tan∠CPE= ，

∴ = ，

∴CP= CE，

∵AP=3t（0＜t＜3），CE= t，

∴CP=9﹣3t，

∴9﹣3t= × t，解得t= ．

（3）

解：如图2，连接PQ交EF于点O，

∵P、Q关于直线EF对称，

∴EF垂直平分PQ，

若四边形PEQF为菱形，则OE=OF= EF

①当点P在AC边上运动时，

易知四边形POEC为矩形，

∴OE=PC，

∴PC= EF，

∵CE= t，

∴BE=12﹣ t，EF=BEtanB= （12﹣ t）=9﹣t，

∴9﹣3t= （9﹣t），解得t= ．

②当点P在CB边上运动时，P、E、Q三点共线，不存在四边形PEQF；

③如图3，当点P在BA边上运动时，则点P在点B、F之间，

∵BE=12﹣ t，

∴BF= = （12﹣ t）=15﹣ t，

∵BP=5（t﹣6），

∴PF=BF﹣BP=15﹣ t﹣5（t﹣6）=45﹣ t，

∵∠POF=∠BEF=90°，

∴PO∥BE，

∴∠OPF=∠B，

在Rt△POF中，sin∠OPF=sinB，

∴ = ，

∴ ，解得t= ．

∴当t= 或t= 时，四边形PEQF为菱形．

（4）

解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得，BC=12，

当点P在边AC上时，0≤t≤3，

当点P在边BC上时，

点P和点E重合时，4（t﹣3）= t，

∴t=4.5，

当P刚好到点B时，t=6，

当点P在边AB上时，且和点F重合时，

∵l∥AC，

∴△BEF∽△BCA，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴t=6.75，

①当0≤t≤6时，如图4，

由运动知，CE= t，

∴BE=12﹣ t，

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BCA，

∴ ，

∴ ，

∴EF=9﹣t，

∴S△PEF= EFCE= （9﹣t）× t=﹣ （t﹣ ）2+ ，

此时当t=3时，S△PEF最大=﹣ （3﹣ ）2+ =12，

②当3＜t＜4.5时，如图5，

由运动知，PE= t﹣4（t﹣3）=﹣ t+12，

∴S△PEF= EFPE= （9﹣t）（﹣ t+12）= t2﹣18t+54，

此时不存在最大值，

③当4.5＜t≤6时，如图6，

同②的方法，得，S△PEF=﹣ t2+18t﹣54=﹣ （t﹣ ）2+

此时，当t=6时，S△PEF最大=6，

④当6＜t＜6.75时，如图7，

在Rt△ABC中，sin∠B= = = ，

在Rt△BEQ中，sin∠B= = = ，

∴QE= （36﹣4t），在Rt△BEF中，sin∠B= = = ，

∴BF= （9﹣t），

∴PF=BF﹣BP= （9﹣t）﹣5（t﹣6）=45﹣ t

S△PEF= PFQE= t2﹣42t+162，

此时不存在最大值；

⑤当6.75＜t＜9时，如图8，

同④的方法，得，S△PEF=﹣ t2+42t﹣162，

由于对称轴t= ＞9，

∴此时取不到最大值，

∴在整个运动过程中，S的最大值为12．

【解析】解：（1）由运动知，CE= t，AP=3t，
∵AC=9，
∴PC=9﹣3t，
∵△PCE是等腰直角三角形，
∴PC=EC，
∴9﹣3t= t．
∴t= ，
故答案为： ；
（1）直接利用等腰直角三角形的性质建立方程即可；（2）先求出CP= CE，进而得出CP=9﹣3t，最后建立方程求解即可；（3）分三种情况，利用直角三角形中，利用锐角三角函数建立方程求解即可；（4）分5中情况利用三角形的面积公式求出各段面积与时间的函数关系式，最后比较即可得出结论．